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九州大学 2013年理系第2問解説

方針・初手

空間ベクトルの設定を行い、内積の条件を利用して立式する。底面の正方形 $OABC$ において、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ を基底として考え、これに頂点 $P$ に向かう $\overrightarrow{OP}$ を加えた3つのベクトルで各点の位置ベクトルを表す。直線 $PQ$ が平面 $OMN$ に垂直であるという条件は、$\overrightarrow{PQ}$ が平面 $OMN$ 上の2つの一次独立なベクトル $\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$ の両方と垂直であること（内積が $0$）に帰着させる。

解法1

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$、$\overrightarrow{OP} = \vec{p}$ とおく。

四角形 $OABC$ は一辺の長さが $1$ の正方形であるから、

$$ |\vec{a}| = 1, \quad |\vec{c}| = 1, \quad \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 $$

が成り立つ。また、与えられた条件より、

$$ \vec{a} \cdot \vec{p} = \frac{1}{4}, \quad \vec{c} \cdot \vec{p} = \frac{1}{2} $$

である。

点 $M$ は辺 $AP$ を $2:1$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\vec{a} + 2\vec{p}}{3} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{p} $$

点 $N$ は辺 $CP$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{ON} = \frac{\vec{c} + \vec{p}}{2} = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{p} $$

と表せる。

また、点 $Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{CQ} = t\overrightarrow{CB}$ と表せる。

四角形 $OABC$ は正方形であるから $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OA} = \vec{a}$ であり、

$$ \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CQ} = \vec{c} + t\vec{a} $$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = t\vec{a} + \vec{c} - \vec{p} $$

である。

直線 $PQ$ は平面 $OMN$ に垂直であるから、$\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OM}$ かつ $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{ON}$ が成り立つ。

よって、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OM} = 0$ および $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{ON} = 0$ である。

(i) $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OM} = 0$ について

$$ (t\vec{a} + \vec{c} - \vec{p}) \cdot \left( \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{p} \right) = 0 $$

両辺を $3$ 倍して展開すると、

$$ (t\vec{a} + \vec{c} - \vec{p}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{p}) = t|\vec{a}|^2 + 2t(\vec{a} \cdot \vec{p}) + \vec{c} \cdot \vec{a} + 2(\vec{c} \cdot \vec{p}) - \vec{p} \cdot \vec{a} - 2|\vec{p}|^2 = 0 $$

既知の値を代入すると、

$$ t \cdot 1^2 + 2t \cdot \frac{1}{4} + 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 2|\vec{p}|^2 = 0 $$

整理して、

$$ \frac{3}{2}t + \frac{3}{4} - 2|\vec{p}|^2 = 0 $$

(ii) $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{ON} = 0$ について

$$ (t\vec{a} + \vec{c} - \vec{p}) \cdot \left( \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{p} \right) = 0 $$

両辺を $2$ 倍して展開すると、

$$ (t\vec{a} + \vec{c} - \vec{p}) \cdot (\vec{c} + \vec{p}) = t(\vec{a} \cdot \vec{c}) + t(\vec{a} \cdot \vec{p}) + |\vec{c}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{p} - \vec{p} \cdot \vec{c} - |\vec{p}|^2 = 0 $$

既知の値を代入すると、

$$ t \cdot 0 + t \cdot \frac{1}{4} + 1^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - |\vec{p}|^2 = 0 $$

整理して、

$$ \frac{1}{4}t + 1 - |\vec{p}|^2 = 0 $$

これを変形すると、

$$ |\vec{p}|^2 = \frac{1}{4}t + 1 $$

(i) の式に代入して、

$$ \frac{3}{2}t + \frac{3}{4} - 2 \left( \frac{1}{4}t + 1 \right) = 0 $$

$$ t - \frac{5}{4} = 0 \iff t = \frac{5}{4} $$

これを (ii) の変形式に戻すと、

$$ |\vec{p}|^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} + 1 = \frac{5}{16} + 1 = \frac{21}{16} $$

$|\vec{p}| > 0$ であるから、線分 $OP$ の長さは、

$$ OP = |\vec{p}| = \frac{\sqrt{21}}{4} $$

次に、$t = \frac{5}{4}$ より $\overrightarrow{CQ} = \frac{5}{4}\overrightarrow{CB}$ である。

したがって、点 $C, B, Q$ はこの順に同一直線上に並び、線分の長さについて $CQ = \frac{5}{4}CB$ が成り立つ。

これより $BQ = CQ - CB = \frac{1}{4}CB$ となるため、

$$ BQ : QC = \frac{1}{4}CB : \frac{5}{4}CB = 1 : 5 $$

である。

解説

空間図形において「直線と平面の垂直」を扱う際の標準的なベクトルの問題である。平面上の任意のベクトルは、その平面を張る一次独立な $2$ つのベクトルの一次結合で表されるため、直線が平面に垂直であることと、直線が平面上の $2$ つの独立なベクトルとそれぞれ垂直（内積が $0$）であることは同値となる。本問では基底ベクトルを $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OP}$ と設定し、内積の条件式から未知の係数 $t$ と $|\overrightarrow{OP}|^2$ の連立方程式に帰着させるのが最も確実である。ベクトルの比の処理では、$C, B, Q$ の位置関係（順番）を誤らないように注意すること。$\overrightarrow{CQ} = \frac{5}{4}\overrightarrow{CB}$ から、点 $B$ は線分 $CQ$ を $4:1$ に内分する点であることがわかる。