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九州大学 2022年文系第4問解説

方針・初手

定積分の基本的な性質と定義から出発し、与えられた式や命題を順次証明していく問題である。 (1) と (2) は、問題文の最初に与えられている定積分の定義①と微分の知識を組み合わせて示す。 (3) と (4) は、区分求積法の原理を不等式を用いて厳密に証明する流れに沿って、適切な定積分の性質を選択し、式変形を行う。

解法1

(1) $F'(x) = f(x)$、$G'(x) = g(x)$ を満たす関数 $F(x), G(x)$ をとる。定積分の定義①より、 $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$

$$ \int_a^b g(x) dx = G(b) - G(a) $$ となる。また、前提として与えられている等式 $\{F(x) + G(x)\}' = F'(x) + G'(x)$ より、 $$ \{F(x) + G(x)\}' = f(x) + g(x) $$ が成り立つ。これは、関数 $F(x) + G(x)$ が関数 $f(x) + g(x)$ の原始関数の1つであることを意味する。したがって、定積分の定義①を用いると、 $$ \int_a^b \{f(x) + g(x)\} dx = \{F(b) + G(b)\} - \{F(a) + G(a)\} $$

$$ = \{F(b) - F(a)\} + \{G(b) - G(a)\} $$

$$ = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx $$ となり、示された。

(2) $G'(x) = g(x)$ を満たす関数 $G(x)$ をとる。定積分の定義①より、 $$ \int_a^b g(x) dx = G(b) - G(a) $$ となる。仮定より、区間 $a \leqq x \leqq b$ において $g(x) > 0$ であるから、この区間において $$ G'(x) > 0 $$ が成り立つ。関数の増減と導関数の関係より、$G'(x) > 0$ である区間において関数 $G(x)$ は単調に増加する。したがって、$a < b$ のとき $$ G(a) < G(b) $$ すなわち $$ G(b) - G(a) > 0 $$ となる。ゆえに、 $$ \int_a^b g(x) dx > 0 $$ となり、示された。

(3) 不等式②は、関数 $f(x)$ の定積分と定数関数の定積分の間に大小関係を定めている。関数の大小関係から定積分の大小関係を導く性質であるため、空欄 [ ア ] に入る記号として最もふさわしいのは (C) である。

次に、不等式②を示す。 $f(x)$ は区間 $0 \leqq x \leqq 1$ で増加関数である。自然数 $n$ と $i = 1, 2, \cdots, n$ に対して、区間 $\frac{i-1}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$ を考えると、この区間において $$ f\left(\frac{i-1}{n}\right) \leqq f(x) \leqq f\left(\frac{i}{n}\right) $$ が成り立つ。ここで定積分の性質 (C) を用いると、 $$ \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f\left(\frac{i-1}{n}\right) dx \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x) dx \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f\left(\frac{i}{n}\right) dx $$ となる。定数関数 $C$ に対し、$C = (Cx)'$ であることから、定積分の定義①より $$ \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} C dx = C \cdot \frac{i}{n} - C \cdot \frac{i-1}{n} = C\left(\frac{i}{n} - \frac{i-1}{n}\right) = \frac{1}{n}C $$ となる。この計算を左辺と右辺の定数関数の定積分に適用すると、 $$ \frac{1}{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x) dx \leqq \frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right) $$ が得られ、不等式②が示された。

(4) 不等式②から不等式③を導くには、不等式②を $i=1$ から $n$ まで足し合わせる必要がある。中央の項を $\int_0^1 f(x) dx$ にまとめるためには、隣接する積分区間を連結する性質を用いる。したがって、空欄 [ イ ] に入る記号として最もふさわしいのは (B) である。

次に、不等式③を示す。不等式②の各辺について、$i=1, 2, \cdots, n$ として和をとると、 $$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right) \leqq \sum_{i=1}^n \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x) dx \leqq \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right) $$ となる。左辺は $S_n$ である。中央の辺は、定積分の性質 (B) を繰り返し用いることで、 $$ \int_0^{\frac{1}{n}} f(x) dx + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} f(x) dx + \cdots + \int_{\frac{n-1}{n}}^1 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx $$ となる。右辺について和の計算を展開すると、 $$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right) = \frac{1}{n} \left\{ f\left(\frac{1}{n}\right) + f\left(\frac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(\frac{n}{n}\right) \right\} $$ であり、$S_n$ を展開した式は $$ S_n = \frac{1}{n} \left\{ f\left(\frac{0}{n}\right) + f\left(\frac{1}{n}\right) + \cdots + f\left(\frac{n-1}{n}\right) \right\} $$ である。したがって、右辺と $S_n$ の差をとると、途中の項が打ち消し合い、 $$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right) - S_n = \frac{1}{n} \left\{ f\left(\frac{n}{n}\right) - f\left(\frac{0}{n}\right) \right\} = \frac{f(1) - f(0)}{n} $$ となるため、右辺は $S_n + \frac{f(1) - f(0)}{n}$ と表すことができる。以上より、和をとった不等式は $$ S_n \leqq \int_0^1 f(x) dx \leqq S_n + \frac{f(1) - f(0)}{n} $$ となる。この不等式の各辺から $S_n$ を引くことで、 $$ 0 \leqq \int_0^1 f(x) dx - S_n \leqq \frac{f(1) - f(0)}{n} $$ となり、不等式③が示された。

解説

微積分学の基本定理や区分求積法の背後にある論理を、与えられた定義と性質に沿って一つずつ確認していく構成になっている。一見当たり前に思える事柄でも、「問題文で定義されたどの事実を使っているか」を明記しながら証明を進めることが重要である。特に (3) における定数関数の積分の計算は、定義①に戻って厳密に示すことが求められている。