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九州大学 2022年文系第2問解説

方針・初手

空間ベクトルにおいて、平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を求めることと、それを用いて平面への垂線の長さや対称な点の座標を求める典型問題である。

(1) は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直であるという条件から、内積が $0$ となる連立方程式を立てて成分を決定する。

(2) は点 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線 $PQ$ が、(1) で求めた法線ベクトル $\vec{n}$ と平行であることを利用する。点 $Q$ が平面 $\alpha$ 上にある条件は、平面 $\alpha$ の方程式を用いると計算がスムーズに進む。

(3) は対称点 $P'$ について、線分 $PP'$ の中点が平面上の点 $Q$ となることを利用して位置ベクトルを計算する。

解法1

(1)

$\vec{n} = (x, y, z)$ とおく。

$\vec{n}$ は $\vec{a} = (1, 1, 0)$ に垂直であるから、$\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ より

$$ x + y = 0 $$

よって、$y = -x$ である。

また、$\vec{n}$ は $\vec{b} = (2, 1, 2)$ に垂直であるから、$\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ より

$$ 2x + y + 2z = 0 $$

これに $y = -x$ を代入して

$$ 2x - x + 2z = 0 $$

$$ x + 2z = 0 $$

よって、$z = -\frac{1}{2}x$ である。

$\vec{n}$ の大きさは $1$ であるから、$|\vec{n}|^2 = 1$ より

$$ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $$

$y = -x$ と $z = -\frac{1}{2}x$ を代入して

$$ x^2 + (-x)^2 + \left(-\frac{1}{2}x\right)^2 = 1 $$

$$ x^2 + x^2 + \frac{1}{4}x^2 = 1 $$

$$ \frac{9}{4}x^2 = 1 $$

$$ x^2 = \frac{4}{9} $$

条件より $\vec{n}$ の $x$ 成分は正であるから、$x > 0$ であり

$$ x = \frac{2}{3} $$

このとき、$y$ および $z$ は

$$ y = -\frac{2}{3}, \quad z = -\frac{1}{3} $$

したがって、求めるベクトル $\vec{n}$ は

$$ \vec{n} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $$

(2)

平面 $\alpha$ は原点 $O$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ である平面である。

平面上の任意の点 $(X, Y, Z)$ は $\frac{2}{3}X - \frac{2}{3}Y - \frac{1}{3}Z = 0$ すなわち $2X - 2Y - Z = 0$ を満たす。

直線 $PQ$ は平面 $\alpha$ に垂直であるから、法線ベクトル $\vec{n}$ と平行である。したがって、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{PQ} = k\vec{n}$ と表せる。

点 $Q$ の位置ベクトルは

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ} \\ &= (4, 0, -1) + k\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) \\ &= \left(4 + \frac{2}{3}k, -\frac{2}{3}k, -1 - \frac{1}{3}k\right) \end{aligned} $$

点 $Q$ は平面 $\alpha$ 上の点であるから、先ほど求めた平面の方程式に代入して

$$ 2\left(4 + \frac{2}{3}k\right) - 2\left(-\frac{2}{3}k\right) - \left(-1 - \frac{1}{3}k\right) = 0 $$

$$ 8 + \frac{4}{3}k + \frac{4}{3}k + 1 + \frac{1}{3}k = 0 $$

$$ 9 + \frac{9}{3}k = 0 $$

$$ 9 + 3k = 0 $$

よって、$k = -3$ となる。

このとき $\overrightarrow{PQ} = -3\vec{n}$ であり、$|\vec{n}| = 1$ であるから、線分 $PQ$ の長さは

$$ |\overrightarrow{PQ}| = |-3\vec{n}| = 3|\vec{n}| = 3 $$

(3)

点 $P'$ は平面 $\alpha$ に関して点 $P$ と対称であるから、線分 $PP'$ の中点が点 $Q$ に一致する。

よって

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OP'}}{2} $$

これを $\overrightarrow{OP'}$ について解くと

$$ \overrightarrow{OP'} = 2\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} $$

ここで、(2) より $\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ}$ であるから

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP'} &= 2(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ}) - \overrightarrow{OP} \\ &= \overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{PQ} \end{aligned} $$

(2) で求めた $k = -3$ より、$\overrightarrow{PQ} = -3\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) = (-2, 2, 1)$ であるから

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP'} &= (4, 0, -1) + 2(-2, 2, 1) \\ &= (4 - 4, 0 + 4, -1 + 2) \\ &= (0, 4, 1) \end{aligned} $$

したがって、点 $P'$ の座標は $(0, 4, 1)$ である。

解法2

(1) （外積を用いる解法）

空間ベクトル $\vec{a} = (1, 1, 0)$ と $\vec{b} = (2, 1, 2)$ の両方に垂直なベクトルは、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ に平行である。

$$ \vec{a} \times \vec{b} = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 2 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = (2, -2, -1) $$

このベクトルの大きさは

$$ \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 $$

$\vec{n}$ は $\vec{a} \times \vec{b}$ と平行で大きさが $1$ のベクトルであるから

$$ \vec{n} = \pm \frac{1}{3} (2, -2, -1) = \pm \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $$

$x$ 成分が正であるという条件から、符号は正である。

したがって

$$ \vec{n} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $$

(2) （平面の方程式を用いない解法）

点 $Q$ は平面 $\alpha$ 上にあるから、実数 $s, t$ を用いて $\overrightarrow{OQ} = s\vec{a} + t\vec{b}$ と表せる。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = s\vec{a} + t\vec{b} - \overrightarrow{OP}$ であり、$\overrightarrow{PQ}$ は平面 $\alpha$ に垂直であるから、$\vec{a}$ および $\vec{b}$ と垂直である。

よって、$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{b} = 0$ が成り立つ。

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 9$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 3$

$\overrightarrow{OP} \cdot \vec{a} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 4$

$\overrightarrow{OP} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 6$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{a} = 0$ より

$$ (s\vec{a} + t\vec{b} - \overrightarrow{OP}) \cdot \vec{a} = s|\vec{a}|^2 + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) - \overrightarrow{OP} \cdot \vec{a} = 0 $$

$$ 2s + 3t - 4 = 0 \quad \cdots \text{(i)} $$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{b} = 0$ より

$$ (s\vec{a} + t\vec{b} - \overrightarrow{OP}) \cdot \vec{b} = s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - \overrightarrow{OP} \cdot \vec{b} = 0 $$

$$ 3s + 9t - 6 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad s + 3t - 2 = 0 \quad \cdots \text{(ii)} $$

(i) と (ii) を連立して解く。(i) から (ii) を引くと

$$ s - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad s = 2 $$

これを (ii) に代入して

$$ 2 + 3t - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0 $$

したがって、$\overrightarrow{OQ} = 2\vec{a} = 2(1, 1, 0) = (2, 2, 0)$ となる。

これより

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (2, 2, 0) - (4, 0, -1) = (-2, 2, 1) $$

線分 $PQ$ の長さは

$$ |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 $$

解説

空間ベクトルにおいて、平面に垂直な法線ベクトルを求めることは、平面と直線が交わる点を考えたり、点から平面までの距離を計算したりする際の基本となる。

(1) ではベクトルの成分計算による基本方針を示したが、解法2のように外積（ベクトル積）の知識があれば、直ちに法線ベクトルと平行なベクトルを求めることができるため、見通しが良くなる。

(2) では、点 $Q$ が平面上にあるという条件の処理の仕方が分かれる。解法1のように法線ベクトルから平面の方程式 $ax+by+cz+d=0$ を導いて代入する方法は、計算量が少なくミスを防ぎやすい。一方、解法2のように $\overrightarrow{OQ} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおいて内積を計算する方法は、平面の方程式の知識を用いずにベクトルの基本性質のみで完結する利点がある。

(3) の対称点の位置ベクトルは、$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{PQ}$ という図形的関係から一発で立式できるとよい。