九州大学 1965年 理系 第6問 解説

方針・初手

2つの放物線 $y = x^2 - px$ と $y = ax^2$ の交点を求め、それぞれが囲む図形の面積を計算します。放物線が面積を2等分するための条件（交点の $x$ 座標の範囲）を確認したうえで、面積についての等式を立てて $a$ について解きます。

解法1

放物線 $y = x^2 - px$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$x^2 - px = 0$ より $x(x - p) = 0$ となり、$x = 0, p$ である。 $p > 0$ であるから、放物線 $y = x^2 - px$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を $S$ とすると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{p} \{0 - (x^2 - px)\} dx \\ &= \int_{0}^{p} (-x^2 + px) dx \\ &= \frac{1}{6} p^3 \end{aligned}$$

放物線 $y = ax^2$ がこの面積を2等分するためには、$0 < x < p$ の範囲で放物線 $y = x^2 - px$ と交わる必要がある。 2つの放物線の方程式から $y$ を消去すると、

$$ax^2 = x^2 - px$$

$$(1 - a)x^2 - px = 0$$

$$x \{ (1 - a)x - p \} = 0$$

$a = 1$ のときは $x = 0$ となり不適であるから $a \neq 1$ であり、$x = 0$ 以外の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、

$$\alpha = \frac{p}{1 - a}$$

交点 $\alpha$ が $0 < x < p$ の範囲にあるための条件は、$0 < \frac{p}{1 - a} < p$ である。 $p > 0$ より各辺を $p$ で割ると、

$$0 < \frac{1}{1 - a} < 1$$

これを解くと $1 - a > 1$ となり、$a < 0$ を得る。

このとき、$0 \leqq x \leqq \alpha$ においては $ax^2 \geqq x^2 - px$ であるから、2つの放物線で囲まれる部分の面積を $S_{1}$ とすると、

$$\begin{aligned} S_{1} &= \int_{0}^{\alpha} \{ ax^2 - (x^2 - px) \} dx \\ &= \int_{0}^{\alpha} \{ -(1 - a)x^2 + px \} dx \\ &= -(1 - a) \int_{0}^{\alpha} x(x - \alpha) dx \\ &= -(1 - a) \left( -\frac{1}{6} \alpha^3 \right) \\ &= \frac{1 - a}{6} \left( \frac{p}{1 - a} \right)^3 \\ &= \frac{p^3}{6(1 - a)^2} \end{aligned}$$

放物線 $y = ax^2$ が元の面積 $S$ を2等分するとき、$S_{1} = \frac{1}{2}S$ が成り立つから、

$$\frac{p^3}{6(1 - a)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{p^3}{6}$$

$p > 0$ より両辺を $\frac{p^3}{6}$ で割って整理すると、

$$(1 - a)^2 = 2$$

$$1 - a = \pm \sqrt{2}$$

$$a = 1 \mp \sqrt{2}$$

ここで、$a < 0$ の条件を満たすのは $a = 1 - \sqrt{2}$ である。

解説

放物線同士、あるいは放物線と直線で囲まれた面積の計算においては、定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式）を活用することで計算量を大幅に減らすことができます。また、放物線 $y = ax^2$ が図形を分割するという図形的な状況から、$a < 0$ であること（グラフが上に凸であること）をあらかじめ交点条件から導いておくことが論理的な答案作成において重要です。

答え

$$a = 1 - \sqrt{2}$$