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九州大学 2013年文系第4問解説

方針・初手

(1)は、円の中心と直線の距離を計算し、それが半径と等しいことを示す方針をとる。接点は直線の方程式を円の方程式に代入して連立方程式を解くことで求める。
(2)は、円と放物線の方程式を連立して交点の座標を求める。このとき、(1)で求めた接点が共有点として現れることに着目する。
(3)は、各領域の条件式が $y$ 軸に関して対称であることに注目し、$x \geqq 0$ の範囲に絞って領域の形状を調べる。円、放物線、直線の上下関係を正確に把握し、面積計算が容易な「放物線と直線で囲まれた図形」と「半円」に領域を分割する。

解法1

(1) 円 $C$ の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$ であり、中心は $(1, 1)$、半径は $\sqrt{2}$ である。直線の方程式を $x - y - 2 = 0$ とし、円 $C$ の中心 $(1, 1)$ とこの直線の距離を $d$ とすると、

$$ d = \frac{|1 - 1 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

距離 $d$ が円 $C$ の半径 $\sqrt{2}$ と等しいため、直線 $y = x - 2$ は円 $C$ に接することが示された。接点の座標を求めるため、直線 $y = x - 2$ を円 $C$ の方程式に代入する。

$$ (x - 1)^2 + (x - 2 - 1)^2 = 2 $$

展開して整理すると、

$$ \begin{aligned} x^2 - 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 &= 2 \\ 2x^2 - 8x + 8 &= 0 \\ 2(x - 2)^2 &= 0 \end{aligned} $$

これを解いて $x = 2$ を得る。このとき $y = 2 - 2 = 0$ となるので、接点の座標は $(2, 0)$ である。

(2) 円 $C$ の方程式を展開すると、

$$ x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 $$

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2 - 1$ より $x^2 = 4y + 4$ を得る。これを円の方程式に代入すると、

$$ \begin{aligned} (4y + 4) + y^2 - 2x - 2y &= 0 \\ y^2 + 2y + 4 &= 2x \end{aligned} $$

両辺を2乗して $4x^2 = 16y + 16$ （$x^2 = 4y + 4$ の両辺を4倍したもの）を代入し、$x$ を消去する。

$$ \begin{aligned} (y^2 + 2y + 4)^2 &= 4x^2 \\ y^4 + 4y^2 + 16 + 4y^3 + 8y^2 + 16y &= 16y + 16 \\ y^4 + 4y^3 + 12y^2 &= 0 \\ y^2(y^2 + 4y + 12) &= 0 \end{aligned} $$

$y$ は実数であり、$y^2 + 4y + 12 = (y + 2)^2 + 8 > 0$ であるため、$y = 0$ となる。 $y = 0$ を $y^2 + 2y + 4 = 2x$ に代入すると $2x = 4$ より $x = 2$ を得る。（$x^2 = 4y + 4$ に $y = 0$ を代入すると $x = \pm 2$ となるが、$x = -2$ は円 $C$ の方程式を満たさない）したがって、共有点の座標は $(2, 0)$ のみである。

(3) 領域 $D, A, B$ はすべて $y$ 軸に関して対称な条件式で与えられている。そのため、和集合 $E = A \cup B$ および共通部分 $D \cap E$ も $y$ 軸に関して対称となる。よって、まず $x \geqq 0$ の範囲で領域を考察する。

$x \geqq 0$ において、各領域を表す不等式は以下のようになる。領域 $D$: $y \geqq \frac{1}{4}x^2 - 1$ 領域 $A$: $x + |y| \leqq 2$ （すなわち $x - 2 \leqq y \leqq -x + 2$）領域 $B$: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \leqq 2$ （円 $C$ の内部および境界）

まず、領域 $D$ と領域 $B$ の上下関係を調べる。 (2)の過程で示した通り、円 $C$ と放物線は $x \geqq 0$ において点 $(2, 0)$ のみを共有点に持ち、接している。円 $C$ の下半分の境界は $y = 1 - \sqrt{2 - (x - 1)^2}$ である。放物線との差をとると、

$$ \left( 1 - \sqrt{2 - (x - 1)^2} \right) - \left( \frac{1}{4}x^2 - 1 \right) = 2 - \frac{1}{4}x^2 - \sqrt{2 - (x - 1)^2} $$

円 $C$ が存在する $x$ の範囲において $2 - \frac{1}{4}x^2 > 0$ である。平方の差を考えると、

$$ \left( 2 - \frac{1}{4}x^2 \right)^2 - \left\{ 2 - (x - 1)^2 \right\} = \frac{1}{16}(x^4 - 32x + 48) $$

$g(x) = x^4 - 32x + 48$ とおくと、$g'(x) = 4x^3 - 32 = 4(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ となる。 $x \geqq 0$ において $g(x)$ は $x = 2$ で最小値 $0$ をとるため、$g(x) \geqq 0$ が成り立つ。よって、円 $C$ の下半分の境界は放物線の上側（または接する位置）にあり、$x \geqq 0$ において $B \subset D$ が成り立つ。したがって、$D \cap B = B$ である。

次に、領域 $D$ と領域 $A$ の関係を調べる。 $A$ の下側の境界は $y = x - 2$ である。放物線との差をとると、

$$ \left( \frac{1}{4}x^2 - 1 \right) - (x - 2) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 \geqq 0 $$

よって、放物線は $A$ の下側境界 $y = x - 2$ の上側（または接する位置）にある。したがって、$x \geqq 0$ における $D \cap A$ は、下限が放物線 $y = \frac{1}{4}x^2 - 1$、上限が $A$ の上側境界 $y = -x + 2$ となる領域である（$0 \leqq x \leqq 2$）。

求める領域は $D \cap E = D \cap (A \cup B) = (D \cap A) \cup (D \cap B) = (D \cap A) \cup B$ である。直線 $y = -x + 2$ は円 $C$ の中心 $(1, 1)$ を通るため、領域 $B$ はこの直線によって面積の等しい2つの半円に分割される。直線より右上にある半円を $B_1$、左下にある半円を $B_2$ とする。 $B_2$ の下限は円 $C$ の下半分であり、これは放物線より上にあるため、$B_2$ は完全に領域 $D \cap A$ に含まれる。したがって、$x \geqq 0$ における領域 $(D \cap A) \cup B$ は、領域 $D \cap A$ と半円 $B_1$ を直線 $y = -x + 2$ で繋ぎ合わせた図形となる。

この領域の面積 $S_1$ は、領域 $D \cap A$ の面積と半円 $B_1$ の面積の和で求められる。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_{0}^{2} \left\{ (-x + 2) - \left( \frac{1}{4}x^2 - 1 \right) \right\} dx + \frac{1}{2} \cdot \pi (\sqrt{2})^2 \\ &= \int_{0}^{2} \left( -\frac{1}{4}x^2 - x + 3 \right) dx + \pi \\ &= \left[ -\frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \right]_{0}^{2} + \pi \\ &= \left( -\frac{8}{12} - 2 + 6 \right) + \pi \\ &= \frac{10}{3} + \pi \end{aligned} $$

求める面積 $S$ は、$y$ 軸対称性よりこれを2倍して、

$$ S = 2S_1 = 2\pi + \frac{20}{3} $$

領域 $D \cap E$ は $y$ 軸に関して対称であり、図示した場合の境界線は以下の曲線からなる。・下側境界：放物線 $y = \frac{1}{4}x^2 - 1$ （$-2 \leqq x \leqq 2$）・右上境界：円 $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$ の $y \geqq -x + 2$ の部分・左上境界：円 $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$ の $y \geqq x + 2$ の部分これらの境界で囲まれた領域の内部および境界線上が $D \cap E$ となる。

解説

領域の和集合・共通部分を正確に把握する力が問われる総合問題である。 (2)で得られた交点が接点でもあることに着目し、円と放物線の上下関係を論理的に示すことが重要となる。面積計算においては、領域が $y$ 軸対称である性質を活かし、$x \geqq 0$ の範囲に絞ると見通しが良い。さらに、円と直線、放物線と直線の位置関係を調べ、複雑な領域を「直線と放物線で囲まれた部分（積分で計算）」と「半円（図形的に計算）」に分割して面積を求める工夫が求められる。