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九州大学 2015年文系第1問解説

方針・初手

(1) は2つの放物線の方程式を連立して得られる2次方程式が、異なる2つの実数解をもつ条件を判別式を用いて求める。 (2) は交点の $x$ 座標を文字でおき、定積分を計算して面積を立式する。被積分関数が $(x-\alpha)(x-\beta)$ の形になることを利用し、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を用いて計算を簡略化する。 (3) は放物線の式を平方完成して頂点の座標を $a$ と $b$ で表す。その後、(2) で求めた関係式を利用して $b$ を消去し、$a$ を媒介変数とする軌跡の考え方で $x, y$ の関係式を導く。

解法1

(1)

$C_1 : y = x^2$ と $C_2 : y = -x^2 + ax + b$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $$x^2 = -x^2 + ax + b$$ すなわち $$2x^2 - ax - b = 0 \cdots \text{①}$$ の実数解である。

$C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるための条件は、2次方程式①が異なる2つの実数解をもつことである。 ①の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ となればよい。

$$D = (-a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-b) = a^2 + 8b$$ であるから、求める条件は $$a^2 + 8b > 0$$

(2)

(1) の条件 $a^2 + 8b > 0$ が成り立つとき、①の2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおく。解の公式より $$\alpha = \frac{a - \sqrt{a^2+8b}}{4}, \quad \beta = \frac{a + \sqrt{a^2+8b}}{4}$$ であり、この差をとると $$\beta - \alpha = \frac{\sqrt{a^2+8b}}{2} \cdots \text{②}$$ となる。

区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、上に凸の放物線 $C_2$ は下に凸の放物線 $C_1$ の上側にあるため、$-x^2 + ax + b \geqq x^2$ が成り立つ。したがって、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積 $S$ は $$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{ (-x^2 + ax + b) - x^2 \} dx$$

$$S = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + ax + b) dx$$

$$S = -2 \int_{\alpha}^{\beta} \left( x^2 - \frac{a}{2}x - \frac{b}{2} \right) dx$$

ここで、被積分関数の2次式は $\alpha, \beta$ を解にもつので $$S = -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$$

公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いると $$S = -2 \left\{ -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right\} = \frac{1}{3} (\beta - \alpha)^3$$

これに②を代入すると $$S = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{a^2+8b}}{2} \right)^3 = \frac{1}{24} (a^2+8b)^{\frac{3}{2}}$$

面積が $9$ であるから $$\frac{1}{24} (a^2+8b)^{\frac{3}{2}} = 9$$

$$(a^2+8b)^{\frac{3}{2}} = 216$$

$216 = 6^3 = (36)^{\frac{3}{2}}$ であり、$a^2 + 8b > 0$ であるから $$a^2 + 8b = 36$$

これを $b$ について解くと $$b = -\frac{1}{8}a^2 + \frac{9}{2}$$

(3)

$C_2$ の方程式 $y = -x^2 + ax + b$ を平方完成すると $$y = -\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + \frac{a^2}{4} + b$$

よって、$C_2$ の頂点の座標を $(X, Y)$ とすると $$X = \frac{a}{2} \cdots \text{③}$$ $$Y = \frac{a^2}{4} + b \cdots \text{④}$$

(2) より $b = -\frac{1}{8}a^2 + \frac{9}{2}$ であるから、これを④に代入して $$Y = \frac{a^2}{4} + \left( -\frac{1}{8}a^2 + \frac{9}{2} \right) = \frac{1}{8}a^2 + \frac{9}{2}$$

③より $a = 2X$ であるから、これを上式に代入して $a$ を消去すると $$Y = \frac{1}{8}(2X)^2 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}X^2 + \frac{9}{2}$$

$a$ がすべての実数値をとおって変化するとき、③より $X$ もすべての実数値をとる。したがって、求める頂点の軌跡は、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{9}{2}$ である。

図示するグラフは、頂点が $(0, \frac{9}{2})$ で下に凸の放物線となる。

解説

2つの放物線で囲まれる面積と、定点を持たない放物線の頂点の軌跡を求める標準的な融合問題である。 (2) における面積計算では、まともに積分計算を実行するのではなく、交点の $x$ 座標を文字でおき $\frac{1}{6}$ 公式を利用するのが定石である。これにより計算ミスを減らし、時間を節約できる。 (3) は媒介変数表示された曲線の軌跡を求める基本的な問題であり、得られた関係式から媒介変数を消去することで容易に軌跡の方程式を得られる。