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九州大学 1969年理系第5問解説

方針・初手

与えられた辺のベクトルから、未知のベクトル $\overrightarrow{DA}$ や対角線のベクトル $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}$ を成分で表し、平行条件と垂直条件を立式する。四角形が閉じていることから $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$ が成り立つことを利用する。

解法1

(1)

四角形ABCDにおいて、始点Aから辺に沿って一周して戻るベクトルの和は零ベクトルになるため、

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$$

が成り立つ。これより、

$$\overrightarrow{DA} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})$$

である。与えられた成分 $\overrightarrow{AB} = (6, 1), \overrightarrow{BC} = (x, y), \overrightarrow{CD} = (-2, -3)$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{DA} &= - \{ (6, 1) + (x, y) + (-2, -3) \} \\ &= -(x + 4, y - 2) \\ &= (-x - 4, -y + 2) \end{aligned}$$

となる。$\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{DA}$ が平行であるための条件は、成分のたすき掛けの差が $0$ になることであるから、

$$x(-y + 2) - y(-x - 4) = 0$$

これを展開して整理する。

$$-xy + 2x + xy + 4y = 0$$

$$2x + 4y = 0$$

$$x + 2y = 0$$

(2)

(1) の結果より $x = -2y$ である。対角線のベクトル $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ を成分で表す。

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (x + 6, y + 1)$$

$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (x - 2, y - 3)$$

$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ が垂直であるから、内積 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ が成り立つ。

$$(x + 6)(x - 2) + (y + 1)(y - 3) = 0$$

ここに $x = -2y$ を代入する。

$$(-2y + 6)(-2y - 2) + (y + 1)(y - 3) = 0$$

$$-2(y - 3) \cdot (-2)(y + 1) + (y + 1)(y - 3) = 0$$

$$4(y - 3)(y + 1) + (y - 3)(y + 1) = 0$$

$$5(y - 3)(y + 1) = 0$$

したがって、$y = 3, -1$ を得る。

また、4辺形ABCDの対角線が直交しているため、その面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BD}|$$

で計算できる。それぞれの $y$ の値について場合分けをして値を求める。

(i) $y = 3$ のとき

$x = -2 \cdot 3 = -6$ である。このとき、対角線のベクトルは以下のようになる。

$$\overrightarrow{AC} = (-6 + 6, 3 + 1) = (0, 4)$$

$$\overrightarrow{BD} = (-6 - 2, 3 - 3) = (-8, 0)$$

それぞれの大きさは $|\overrightarrow{AC}| = 4, |\overrightarrow{BD}| = 8$ であるから、面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$$

(ii) $y = -1$ のとき

$x = -2 \cdot (-1) = 2$ である。このとき、対角線のベクトルは以下のようになる。

$$\overrightarrow{AC} = (2 + 6, -1 + 1) = (8, 0)$$

$$\overrightarrow{BD} = (2 - 2, -1 - 3) = (0, -4)$$

それぞれの大きさは $|\overrightarrow{AC}| = 8, |\overrightarrow{BD}| = 4$ であるから、面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$$

解説

ベクトルの平行条件と垂直条件を、成分計算によって機械的に処理していく典型的な問題である。平行条件 $\overrightarrow{p} \parallel \overrightarrow{q}$ では、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{q}$ と立式する方法もあるが、成分表示が分かっている場合はたすき掛けを用いた式 $(p_x q_y - p_y q_x = 0)$ を用いる方が計算が早い。また、四角形の面積は「対角線が直交する」という条件を最大限活かすことで、簡単に求めることができる。問題文の「図において」は頂点 $A, B, C, D$ の連結順序を示すものと捉え、求まった2つの解をいずれも答えるのが適切である。