九州大学 1969年 理系 第6問 解説

方針・初手

(1) では、2つのグラフ $y=x$ と $y=\log x$ の上下関係を把握し、指定された区間 $[a, a+1]$ で定積分を計算して面積 $S$ を求める。

(2) では、得られた $S$ を $a$ の関数 $S(a)$ とみなし、微分して導関数 $S'(a)$ を求め、増減を調べることで最小値を求める。

解法1

(1)

$x > 0$ において、$f(x) = x - \log x$ とおくと、

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$$

$f(x)$ の増減を調べると、$x=1$ で極小かつ最小値 $f(1) = 1 > 0$ をとる。 したがって、$x > 0$ において常に $x > \log x$ が成り立つ。 $a > 0$ であるから、区間 $a \leqq x \leqq a+1$ においても $x > \log x$ であり、求める面積 $S$ は次の定積分で計算できる。

$$S = \int_{a}^{a+1} (x - \log x) dx$$

これを計算すると、

$$\begin{aligned} S &= \left[ \frac{1}{2}x^2 - (x \log x - x) \right]_a^{a+1} \\ &= \left\{ \frac{1}{2}(a+1)^2 - (a+1)\log(a+1) + (a+1) \right\} - \left\{ \frac{1}{2}a^2 - a\log a + a \right\} \\ &= \frac{1}{2}(a^2+2a+1) - (a+1)\log(a+1) + a + 1 - \frac{1}{2}a^2 + a\log a - a \\ &= a + \frac{3}{2} - (a+1)\log(a+1) + a\log a \end{aligned}$$

(2)

(1)より $S$ は $a$ の関数であるから、これを $S(a)$ とおく。$S(a)$ を $a$ で微分すると、

$$\begin{aligned} S'(a) &= 1 - \left\{ 1 \cdot \log(a+1) + (a+1) \cdot \frac{1}{a+1} \right\} + \left( 1 \cdot \log a + a \cdot \frac{1}{a} \right) \\ &= 1 - \{ \log(a+1) + 1 \} + (\log a + 1) \\ &= 1 - \log(a+1) + \log a \\ &= 1 - \log \frac{a+1}{a} \\ &= 1 - \log \left( 1 + \frac{1}{a} \right) \end{aligned}$$

$S'(a) = 0$ となる $a$ を求める。

$$\log \left( 1 + \frac{1}{a} \right) = 1$$

$$1 + \frac{1}{a} = e$$

$$\frac{1}{a} = e - 1$$

$e > 1$ であるから $e-1 > 0$ となり、$a = \frac{1}{e-1} > 0$ を満たす。

ここで、$a$ が増加すると $\frac{1}{a}$ は減少し、$1 - \log \left( 1 + \frac{1}{a} \right)$ は単調に増加する。 したがって、$S(a)$ の増減は以下のようになる。

$0 < a < \frac{1}{e-1}$ のとき、$S'(a) < 0$ $a = \frac{1}{e-1}$ のとき、$S'(a) = 0$ $a > \frac{1}{e-1}$ のとき、$S'(a) > 0$

よって、$S(a)$ は $a = \frac{1}{e-1}$ で極小かつ最小となる。

このとき、$1 + \frac{1}{a} = e$ より $\frac{a+1}{a} = e$、すなわち $a+1 = ea$ であり、また $\log(a+1) - \log a = 1$ より $\log(a+1) = \log a + 1$ が成り立つ。 これを用いて $S(a)$ の式を整理してから最小値を求める。

$$\begin{aligned} S &= a + \frac{3}{2} - (a+1)(\log a + 1) + a\log a \\ &= a + \frac{3}{2} - a\log a - a - \log a - 1 + a\log a \\ &= \frac{1}{2} - \log a \end{aligned}$$

$a = \frac{1}{e-1}$ であるから、

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} - \log \left( \frac{1}{e-1} \right) \\ &= \frac{1}{2} + \log (e-1) \end{aligned}$$

問題の条件より、最小値が $\frac{1}{2} + \log k$ と表されるので、係数を比較して、

$$k = e - 1$$

解説

面積の関数を微分して最小値を求める典型的な微分積分の問題である。

(1) における面積の計算では、$\int \log x dx = x\log x - x + C$ の積分公式を正確に適用し、計算ミスなく展開することが求められる。

(2) において $S'(a)$ を求める際、(1)で求めた式を直接微分してもよいが、定積分で表された関数の微分の性質 $\frac{d}{da} \int_a^{a+1} f(x) dx = f(a+1) - f(a)$ を用いると、

$$S'(a) = \{ (a+1) - \log(a+1) \} - (a - \log a) = 1 - \log(a+1) + \log a$$

と暗算レベルで導関数を得ることができ、計算量とミスのリスクを大幅に減らすことができる。 また、最小値を求める際の代入計算では、$\log(a+1) = \log a + 1$ の関係式を用いて式を整理してから $a$ の値を代入すると計算が非常に楽になる。

答え

(1) $S = a + \frac{3}{2} - (a+1)\log(a+1) + a\log a$

(2) $S$ を最小にする $a$ の値: $\frac{1}{e-1}$ $k = e - 1$