大阪大学 1966年 理系 第6問 解説

方針・初手

曲線 $y = \log x$ は上に凸であるため、線分 $PT$ および $TQ$ は常に曲線の下側に位置する。したがって、面積 $S_1$ と $S_2$ は、それぞれ定積分から三角形や台形の面積を引くことで容易に表すことができる。

$S_1 + S_2$ を $t$ の関数とみなし、微分を用いて最小値を求める。その際、導関数が $0$ となる $t$ の値が条件 $1 < t < a$ を満たすことを、関数の増減を用いて厳密に示す必要がある。

解法1

$P(1, 0), Q(a, \log a), T(t, \log t)$ とする。 $y = \log x$ について $y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ であるため、曲線 $y = \log x$ は常に上に凸である。 よって、区間 $1 \leqq x \leqq a$ において、曲線 $y = \log x$ は線分 $PT$ および $TQ$ の上側にある。

$S_1$ は、区間 $1 \leqq x \leqq t$ における曲線と $x$ 軸の間の面積から、頂点が $(1, 0), (t, 0), (t, \log t)$ である直角三角形の面積を引いたものに等しい。

$$ S_1 = \int_1^t \log x \,dx - \frac{1}{2}(t - 1)\log t $$

$S_2$ は、区間 $t \leqq x \leqq a$ における曲線と $x$ 軸の間の面積から、頂点が $(t, 0), (a, 0), (a, \log a), (t, \log t)$ である台形の面積を引いたものに等しい。

$$ S_2 = \int_t^a \log x \,dx - \frac{1}{2}(a - t)(\log t + \log a) $$

よって、$S_1 + S_2$ は次のように表される。

$$ S_1 + S_2 = \int_1^a \log x \,dx - \frac{1}{2} \left\{ (t - 1)\log t + (a - t)(\log t + \log a) \right\} $$

右辺の中括弧内を整理する。

$$ (t - 1)\log t + (a - t)\log t + (a - t)\log a = (a - 1)\log t + (a - t)\log a $$

これを代入し、$S_1 + S_2$ を $t$ の関数 $f(t)$ とおく。

$$ f(t) = \int_1^a \log x \,dx - \frac{a - 1}{2} \log t - \frac{a - t}{2} \log a $$

$\int_1^a \log x \,dx$ および $a$ は $t$ に無関係な定数であるから、$f(t)$ を $t$ で微分すると次のようになる。

$$ f'(t) = - \frac{a - 1}{2t} + \frac{\log a}{2} = \frac{t \log a - (a - 1)}{2t} $$

$f'(t) = 0$ とすると、$t \log a - (a - 1) = 0$ より、以下の $t$ を得る。

$$ t = \frac{a - 1}{\log a} $$

次に、この $t$ が条件 $1 < t < a$ を満たすことを示す。

(i) $t > 1$ について

関数 $g_1(x) = x - 1 - \log x \ (x \geqq 1)$ を考える。

$$ g_1'(x) = 1 - \frac{1}{x} $$

$x > 1$ において $g_1'(x) > 0$ であるから、$g_1(x)$ は単調に増加する。 $g_1(1) = 0$ であるから、$a > 1$ において $g_1(a) > 0$、すなわち $a - 1 - \log a > 0$ となる。 $a > 1$ より $\log a > 0$ であるため、両辺を $\log a$ で割ると $\frac{a - 1}{\log a} > 1$ が成り立つ。

(ii) $t < a$ について

関数 $g_2(x) = x \log x - (x - 1) \ (x \geqq 1)$ を考える。

$$ g_2'(x) = \log x + 1 - 1 = \log x $$

$x > 1$ において $g_2'(x) > 0$ であるから、$g_2(x)$ は単調に増加する。 $g_2(1) = 0$ であるから、$a > 1$ において $g_2(a) > 0$、すなわち $a \log a - (a - 1) > 0$ となる。 両辺を $\log a > 0$ で割ると $a > \frac{a - 1}{\log a}$ が成り立つ。

(i)、(ii) より、$1 < \frac{a - 1}{\log a} < a$ であることが示された。

$f'(t)$ の符号は、$t = \frac{a - 1}{\log a}$ の前後で負から正へと変化する。 したがって、$f(t)$ は $t = \frac{a - 1}{\log a}$ で極小かつ最小となる。

解説

2つの図形の面積の和を求める際、定積分の中に直線の式を組み込んで計算しようとすると、部分積分が頻出するなど計算量が膨大になりやすい。本問のように曲線が常に上に凸（または下に凸）である場合、図形を「曲線の下側の面積全体」と「三角形や台形」に分割して考えることで、計算を大幅に簡略化できる。

また、極値をとる $t$ の値が指定された定義域に含まれることを示すステップは、厳密な答案作成において欠かせない。本問では「接線の傾き」や「面積の大小関係」などから図形的に明らかと済ませず、微分を用いて不等式を証明する手法をとるのが確実である。

答え

$$ t = \frac{a - 1}{\log a} $$