九州大学 1967年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1)は、与えられた2点の座標を直線の方程式に代入し、連立方程式を解いて係数を決定する基本的な問題である。

(2)は、不等式の証明である。差をとって微分し、増減表を書いて最小値や境界値との比較を行うのが定石であるが、指数関数のグラフの凸性に着目すると視覚的かつ簡潔に証明できる。

(3)は、(2)の結果を利用して上下関係を把握し、定積分を計算して面積を求める。(1)で求めた具体的な定数の値を代入して計算を進めるか、文字のまま積分してから代入すると計算ミスを防ぎやすい。

解法1

(1)

直線 $y = ax + b$ が2点 $(-1, e^{-1})$, $(1, e)$ を通るので、次の連立方程式が成り立つ。

$$\begin{cases} -a + b = e^{-1} \\ a + b = e \end{cases}$$

2式の辺々を足すと、

$$2b = e + e^{-1}$$

$$b = \frac{e + e^{-1}}{2}$$

2式の辺々を引くと、

$$2a = e - e^{-1}$$

$$a = \frac{e - e^{-1}}{2}$$

(2)

$f(x) = (ax + b) - e^x$ とおく。

$$f(x) = \frac{e - e^{-1}}{2}x + \frac{e + e^{-1}}{2} - e^x$$

$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$f'(x) = \frac{e - e^{-1}}{2} - e^x$$

さらに2次導関数を求めると、

$$f''(x) = -e^x$$

すべての実数 $x$ において $e^x > 0$ であるから、$f''(x) < 0$ となる。 したがって、$f'(x)$ は単調に減少する。

ここで、区間の両端における $f(x)$ の値を調べる。直線 $y=ax+b$ は点 $(-1, e^{-1})$, $(1, e)$ を通るから、

$$f(-1) = (-a + b) - e^{-1} = e^{-1} - e^{-1} = 0$$

$$f(1) = (a + b) - e = e - e = 0$$

また、$x = -1, 1$ における微分係数は、

$$f'(-1) = \frac{e - e^{-1}}{2} - e^{-1} = \frac{e - 3e^{-1}}{2} = \frac{e^2 - 3}{2e} > 0 \quad (\because e > 2.7 より e^2 > 7.29)$$

$$f'(1) = \frac{e - e^{-1}}{2} - e = \frac{-e - e^{-1}}{2} < 0$$

$f'(x)$ が連続かつ単調減少であり、$f'(-1) > 0$, $f'(1) < 0$ であることから、中間値の定理より $f'(c) = 0$ となる $c$ が $-1 < c < 1$ の範囲にただ1つ存在する。

したがって、$f(x)$ の増減は $-1 \le x \le c$ で単調増加、$c \le x \le 1$ で単調減少となる。 区間の両端において $f(-1) = 0$, $f(1) = 0$ であるから、$-1 < x < 1$ において常に $f(x) > 0$ である。

すなわち、$-1 < x < 1$ において $ax + b > e^x$ が成り立つ。

(3)

(2)の結果から、区間 $[-1, 1]$ において $ax + b \ge e^x$ である。 求める面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{-1}^{1} (ax + b - e^x) dx$$

積分を計算すると、

$$\begin{aligned} S &= \left[ \frac{a}{2}x^2 + bx - e^x \right]_{-1}^{1} \\ &= \left( \frac{a}{2} + b - e \right) - \left( \frac{a}{2} - b - e^{-1} \right) \\ &= 2b - e + e^{-1} \end{aligned}$$

(1)で求めた $b = \frac{e + e^{-1}}{2}$ を代入して、

$$\begin{aligned} S &= 2 \cdot \frac{e + e^{-1}}{2} - e + e^{-1} \\ &= e + e^{-1} - e + e^{-1} \\ &= 2e^{-1} \end{aligned}$$

$$S = \frac{2}{e}$$

解法2

(2) の別解：曲線の凸性を利用する方法

関数 $g(x) = e^x$ について、

$$g'(x) = e^x$$

$$g''(x) = e^x > 0$$

したがって、曲線 $y = g(x)$ は常に下に凸である。

下に凸な曲線上の異なる2点 $(-1, e^{-1})$ と $(1, e)$ を結ぶ線分は、その両端点を除く部分において、曲線 $y = e^x$ よりも上側に位置する。

この2点を通る直線の方程式が $y = ax + b$ であるから、区間 $-1 < x < 1$ においては直線が曲線の上側にある。

よって、$-1 < x < 1$ において $ax + b > e^x$ が成り立つ。

解説

(2)の不等式の証明において、関数の増減を微分を用いて厳密に調べるのが解法1のアプローチである。このとき、極値をとる $x$ の具体的な値を求める必要はなく、導関数の符号変化と境界値に着目すれば十分である。

一方、解法2のように曲線の凸性を利用すると、記述量を大幅に減らすことができる。大学入試において「下に凸」の性質を自明としてよいかについては議論が分かれることもあるが、2次導関数の符号を示すことで正当化できる。

(3)の積分計算では、$a, b$ に具体的な値を代入したまま積分を実行すると式が煩雑になり、計算ミスの原因になりやすい。解法1のように文字 $a, b$ のまま定積分を計算し、最後に必要な値を代入すると見通しが良くなる。また、直線の積分部分は台形の面積公式として幾何的に求めることもできる。

答え

(1)

$$a = \frac{e - e^{-1}}{2}, \quad b = \frac{e + e^{-1}}{2}$$

(2)

解法のとおり（証明終）

(3)

$$\frac{2}{e}$$