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九州大学 1970年理系第6問解説

方針・初手

第 $k$ のつぼから白球が取り出される確率を $p_k$ とおき、$p_k$ と $p_{k-1}$ の間に成り立つ漸化式を立てる。状態の推移に注目して確率を計算する、確率漸化式の典型問題である。

解法1

第 $k$ 番目（$1 \leqq k \leqq n$）のつぼから球を1個取り出すとき、それが白球である確率を $p_k$ とする。

最初に、第1のつぼには白球 $a$ 個、赤球 $b$ 個の合計 $a+b$ 個が入っている。このつぼから白球を1個取り出す確率 $p_1$ は

$$p_1 = \frac{a}{a+b}$$

である。

次に、$p_k$ と $p_{k-1}$ （$k \geqq 2$）の関係について考える。第 $k-1$ のつぼから第 $k$ のつぼへ移される球が白球である確率は $p_{k-1}$、赤球である確率は $1 - p_{k-1}$ である。第 $k$ のつぼには元々、白球 $a$ 個、赤球 $b$ 個が入っている。

(i) 第 $k-1$ のつぼから白球が移された場合第 $k$ のつぼの中身は、白球 $a+1$ 個、赤球 $b$ 個の合計 $a+b+1$ 個となる。このとき、第 $k$ のつぼから白球を取り出す確率は $\frac{a+1}{a+b+1}$ である。

(ii) 第 $k-1$ のつぼから赤球が移された場合第 $k$ のつぼの中身は、白球 $a$ 個、赤球 $b+1$ 個の合計 $a+b+1$ 個となる。このとき、第 $k$ のつぼから白球を取り出す確率は $\frac{a}{a+b+1}$ である。

(i)、(ii) は互いに排反であるから、全確率の定理より、第 $k$ のつぼから白球が取り出される確率 $p_k$ は次のように表される。

$$p_k = p_{k-1} \cdot \frac{a+1}{a+b+1} + (1 - p_{k-1}) \cdot \frac{a}{a+b+1}$$

これを整理すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} p_k &= \frac{a+1}{a+b+1} p_{k-1} + \frac{a}{a+b+1} - \frac{a}{a+b+1} p_{k-1} \\ &= \frac{1}{a+b+1} p_{k-1} + \frac{a}{a+b+1} \end{aligned}$$

この漸化式の特性方程式 $\alpha = \frac{1}{a+b+1} \alpha + \frac{a}{a+b+1}$ を解くと、

$$\left( 1 - \frac{1}{a+b+1} \right) \alpha = \frac{a}{a+b+1}$$

$$\frac{a+b}{a+b+1} \alpha = \frac{a}{a+b+1}$$

$$\alpha = \frac{a}{a+b}$$

となる。これを用いて漸化式を変形すると、次のように書ける。

$$p_k - \frac{a}{a+b} = \frac{1}{a+b+1} \left( p_{k-1} - \frac{a}{a+b} \right)$$

数列 $\left\{ p_k - \frac{a}{a+b} \right\}$ は、初項が $p_1 - \frac{a}{a+b} = \frac{a}{a+b} - \frac{a}{a+b} = 0$、公比が $\frac{1}{a+b+1}$ の等比数列である。したがって、一般項は以下のようになる。

$$p_k - \frac{a}{a+b} = 0 \cdot \left( \frac{1}{a+b+1} \right)^{k-1} = 0$$

よって、すべての $k \geqq 1$ について $p_k = \frac{a}{a+b}$ が成り立つ。

求める確率は、最後に第 $n$ のつぼから取り出された球が白球である確率 $p_n$ であるから、

$$p_n = \frac{a}{a+b}$$

である。

解説

前の試行結果が次の試行の初期状態に影響を与えるため、漸化式を立てて解くのが自然なアプローチである。計算を進めると、どの段階においても白球を取り出す確率が変化せず、初期状態における白球の割合と一致することが分かる。直感的には、どのつぼからも等確率で球が選ばれ続けるため、全体の赤と白の比率への期待値が各ステップで保存されることに起因する。この性質を知っておくと、計算結果が正しいことの自信につながる。