九州大学 2009年 理系 第2問 解説

方針・初手

$n$ 回の試行における和の偶奇に関する確率は、直前の $n-1$ 回の和の偶奇によって決まるため、漸化式を立てて解くことが定石である。(1)(2)で漸化式を導き、(3)で具体的な係数を求め、(4)で一般項を求めるという誘導に素直に乗る。

解法1

(1)

1回の操作で偶数のカードを取り出す確率は、全カード $(M+N)$ 枚のうち偶数のカードが $M$ 枚であるから、

$$ p_1 = \frac{M}{M+N} $$

2回の操作で記録された数の和が偶数となるのは、 ・1回目が偶数で2回目も偶数の場合 ・1回目が奇数で2回目も奇数の場合 のいずれかであり、これらは互いに排反である。 1回目に奇数が出る確率は $1 - p_1 = \frac{N}{M+N}$ であるから、

$$ \begin{aligned} p_2 &= p_1 \cdot \frac{M}{M+N} + (1 - p_1) \cdot \frac{N}{M+N} \\ &= \frac{M}{M+N} \cdot \frac{M}{M+N} + \frac{N}{M+N} \cdot \frac{N}{M+N} \\ &= \frac{M^2 + N^2}{(M+N)^2} \end{aligned} $$

(2)

$n+1$ 回の操作で記録された数の和が偶数となるのは、 ・$n$ 回目までの和が偶数（確率 $p_n$）で、$n+1$ 回目に偶数が出る（確率 $\frac{M}{M+N}$） ・$n$ 回目までの和が奇数（確率 $1 - p_n$）で、$n+1$ 回目に奇数が出る（確率 $\frac{N}{M+N}$） のいずれかであり、これらは排反であるから、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= p_n \cdot \frac{M}{M+N} + (1 - p_n) \cdot \frac{N}{M+N} \\ &= \frac{M-N}{M+N}p_n + \frac{N}{M+N} \end{aligned} $$

(3)

「1」が1枚、「2」が2枚、$\dots$、「$k$」が $k$ 枚ある。 全体の枚数 $M+N$ は、

$$ M+N = 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} $$

偶数が書かれたカードの枚数 $M$ は、偶数 $2m$ が $2m$ 枚ずつあることの和であり、奇数が書かれたカードの枚数 $N$ は、奇数 $2m-1$ が $2m-1$ 枚ずつあることの和である。 したがって、$M-N$ を考えると、

$$ \begin{aligned} M-N &= -1 + 2 - 3 + 4 - \cdots + (-1)^k k \\ &= \sum_{j=1}^k (-1)^j j \end{aligned} $$

ここで、$k$ の偶奇で場合分けをする。

(i) $k$ が偶数のとき

$k = 2m$ ($m$ は自然数) とおける。

$$ \begin{aligned} M-N &= (-1 + 2) + (-3 + 4) + \cdots + (-(2m-1) + 2m) \\ &= \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{m個} \\ &= m = \frac{k}{2} \end{aligned} $$

よって、

$$ \frac{M-N}{M+N} = \frac{\frac{k}{2}}{\frac{k(k+1)}{2}} = \frac{1}{k+1} $$

(ii) $k$ が奇数のとき

$k = 2m-1$ ($m$ は自然数) とおける。

$$ \begin{aligned} M-N &= (-1 + 2) + (-3 + 4) + \cdots + (-(2m-3) + (2m-2)) - (2m-1) \\ &= \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{m-1個} - (2m-1) \\ &= m - 1 - (2m - 1) \\ &= -m = -\frac{k+1}{2} \end{aligned} $$

よって、

$$ \frac{M-N}{M+N} = \frac{-\frac{k+1}{2}}{\frac{k(k+1)}{2}} = -\frac{1}{k} $$

以上より、

$$ \frac{M-N}{M+N} = \begin{cases} \frac{1}{k+1} & (k \text{が偶数のとき}) \\ -\frac{1}{k} & (k \text{が奇数のとき}) \end{cases} $$

(4)

(2)で求めた漸化式 $p_{n+1} = \frac{M-N}{M+N}p_n + \frac{N}{M+N}$ は、特性方程式 $\alpha = \frac{M-N}{M+N}\alpha + \frac{N}{M+N}$ を満たす $\alpha$ を用いて変形できる。

$$ \alpha \left( 1 - \frac{M-N}{M+N} \right) = \frac{N}{M+N} $$

$$ \alpha \cdot \frac{2N}{M+N} = \frac{N}{M+N} \implies \alpha = \frac{1}{2} $$

よって、漸化式は次のように変形できる。

$$ p_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{M-N}{M+N} \left( p_n - \frac{1}{2} \right) $$

数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{2} \right\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{2}$、公比 $\frac{M-N}{M+N}$ の等比数列である。 初項について、

$$ p_1 - \frac{1}{2} = \frac{M}{M+N} - \frac{1}{2} = \frac{M-N}{2(M+N)} $$

ゆえに、

$$ \begin{aligned} p_n - \frac{1}{2} &= \left( p_1 - \frac{1}{2} \right) \left( \frac{M-N}{M+N} \right)^{n-1} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{M-N}{M+N} \left( \frac{M-N}{M+N} \right)^{n-1} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{M-N}{M+N} \right)^n \end{aligned} $$

$$ p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{M-N}{M+N} \right)^n $$

これに(3)の結果を代入する。

$k$ が偶数のとき：

$$ p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k+1} \right)^n $$

$k$ が奇数のとき：

$$ p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{k} \right)^n $$

解説

和の偶奇に関する確率は、直前の状態だけで次の状態の確率が決まるため、漸化式を立てることが非常に有効である。本問は丁寧な誘導がついているため、それに沿って計算を進めればよい。(3)で $k$ の偶奇による場合分けが必要になる点に気づけるかが完答への鍵となる。等差数列の和の形から、2項ずつペアにして和を計算する処理は頻出である。

答え

(1) $p_1 = \frac{M}{M+N}$ , $p_2 = \frac{M^2 + N^2}{(M+N)^2}$

(2) $p_{n+1} = \frac{M-N}{M+N} p_n + \frac{N}{M+N}$

(3) $k$ が偶数のとき $\frac{1}{k+1}$ , $k$ が奇数のとき $-\frac{1}{k}$

(4) $k$ が偶数のとき $p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k+1} \right)^n$ , $k$ が奇数のとき $p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{k} \right)^n$