九州大学 1975年 理系 第1問 解説

方針・初手

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax$ とおき、導関数 $f'(x)$ を求めて増減を調べる。 極値の有無、および極値をとる $x$ が定義域 $-1 \leqq x \leqq 1$ に含まれるかに着目して $a$ の値で場合分けを行う。最大値の候補となるのは、区間の端点 $x=\pm 1$ での値、または極大値である。

解法1

(1)

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax$ （$-1 \leqq x \leqq 1$）とおく。導関数は、

$$f'(x) = x^2 - a$$

である。

(i) $a \leqq 0$ のとき

区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において常に $f'(x) \geqq 0$ となり、$f(x)$ は単調増加する。 したがって、最大値は $x=1$ のときにとり、

$$F(a) = f(1) = -a + \frac{1}{3}$$

となる。

(ii) $a > 0$ のとき

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm \sqrt{a}$ のときである。 $f(x)$ の増減を考えると、$x = -\sqrt{a}$ で極大、$x = \sqrt{a}$ で極小となる。 極大値は、

$$f(-\sqrt{a}) = \frac{1}{3}(-\sqrt{a})^3 - a(-\sqrt{a}) = \frac{2}{3}a\sqrt{a}$$

である。 区間の両端での値は、それぞれ $f(-1) = a - \frac{1}{3}$、$f(1) = -a + \frac{1}{3}$ である。 極大値をとる $x=-\sqrt{a}$ が区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ に含まれるかどうかでさらに場合分けを行う。

(ア) $a > 1$ のとき

$-\sqrt{a} < -1$ となり、極大値をとる $x$ は区間より左側にある。 区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ においては $x^2 \leqq 1 < a$ より $f'(x) < 0$ となるため、$f(x)$ は単調減少する。 したがって、最大値は $x=-1$ のときにとり、

$$F(a) = f(-1) = a - \frac{1}{3}$$

となる。

(イ) $0 < a \leqq 1$ のとき

$-1 \leqq -\sqrt{a} < 0$ となり、区間内で $x = -\sqrt{a}$ において極大となる。 $x \leqq -\sqrt{a}$ において $f(x)$ は単調増加するため、左端の $f(-1)$ は極大値 $f(-\sqrt{a})$ より小さく最大値にはならない。 したがって、最大値の候補は極大値 $f(-\sqrt{a})$ と右端 $f(1)$ のいずれか大きい方となる。 両者の差をとると、

$$f(-\sqrt{a}) - f(1) = \frac{2}{3}a\sqrt{a} - \left(-a + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}a\sqrt{a} + a - \frac{1}{3}$$

ここで $t = \sqrt{a}$ とおくと、$0 < a \leqq 1$ より $0 < t \leqq 1$ である。

$$\begin{aligned} f(-\sqrt{a}) - f(1) &= \frac{2}{3}t^3 + t^2 - \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{3}(2t^3 + 3t^2 - 1) \\ &= \frac{1}{3}(t+1)^2(2t-1) \end{aligned}$$

$t > 0$ より $\frac{1}{3}(t+1)^2 > 0$ であるため、大小関係は $2t-1$ の符号で決まる。 $0 < t \leqq \frac{1}{2}$ すなわち $0 < a \leqq \frac{1}{4}$ のとき、 $f(-\sqrt{a}) \leqq f(1)$ となるため、最大値は $F(a) = f(1) = -a + \frac{1}{3}$ である。 $\frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$ すなわち $\frac{1}{4} \leqq a \leqq 1$ のとき、 $f(-\sqrt{a}) \geqq f(1)$ となるため、最大値は $F(a) = f(-\sqrt{a}) = \frac{2}{3}a\sqrt{a}$ である。

以上 (i), (ii) をまとめると、$F(a)$ は次のようになる。

$$F(a) = \begin{cases} -a + \frac{1}{3} & \left(a \leqq \frac{1}{4}\right) \\ \frac{2}{3}a\sqrt{a} & \left(\frac{1}{4} \leqq a \leqq 1\right) \\ a - \frac{1}{3} & \left(a \geqq 1\right) \end{cases}$$

したがって、$F(a)$ のグラフは横軸を $a$、縦軸を $y$ とすると、以下の3つの部分をつなぎ合わせた概形となる。

• $a \leqq \frac{1}{4}$ の範囲では、点 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{12}\right)$ を端点とし傾きが $-1$ の半直線。
• $\frac{1}{4} \leqq a \leqq 1$ の範囲では、点 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{12}\right)$ と点 $\left(1, \frac{2}{3}\right)$ を結ぶ、下に凸の曲線（$y = \frac{2}{3}a^{\frac{3}{2}}$）。
• $a \geqq 1$ の範囲では、点 $\left(1, \frac{2}{3}\right)$ を端点とし傾きが $1$ の半直線。

(2)

(1) で求めた $F(a)$ の式から増減を調べる。 $a \leqq \frac{1}{4}$ のとき、傾き $-1$ の直線であるから $F(a)$ は単調減少する。 $\frac{1}{4} \leqq a \leqq 1$ のとき、$F(a) = \frac{2}{3}a^{\frac{3}{2}}$ であり、$F'(a) = \sqrt{a} \geqq 0$ であるから単調増加する。 $a \geqq 1$ のとき、傾き $1$ の直線であるから単調増加する。

したがって、$F(a)$ は $a = \frac{1}{4}$ のとき最小となる。 その最小値は、

$$F\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$$

である。

解説

区間内の最大・最小を求める標準的な問題である。文字定数 $a$ が含まれるため、極値の位置関係と最大値の候補を丁寧に場合分けする必要がある。 特に $0 < a \leqq 1$ の場合、極大値と区間端点の値の大小比較が必要になり、差をとって因数分解する操作がポイントとなる。グラフの概形については、各区間での直線の傾きや曲線の凸性を確認して繋ぎ合わせればよい。

答え

(1)

関数 $F(a)$ は以下の通りである。

$$F(a) = \begin{cases} -a + \frac{1}{3} & \left(a \leqq \frac{1}{4}\right) \\ \frac{2}{3}a\sqrt{a} & \left(\frac{1}{4} \leqq a \leqq 1\right) \\ a - \frac{1}{3} & \left(a \geqq 1\right) \end{cases}$$

グラフの概形は、$a \leqq \frac{1}{4}$ で傾き $-1$ の半直線、$\frac{1}{4} \leqq a \leqq 1$ で下に凸の曲線、$\frac{1}{4} \geqq 1$ で傾き $1$ の半直線をつなぎ合わせた形となる（連続で、点 $(1/4, 1/12)$、$(1, 2/3)$ を通る）。

(2)

$a = \frac{1}{4}$ のとき、最小値 $\frac{1}{12}$