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京都大学 1976年文系第6問解説

方針・初手

$2$ 点 $P, Q$ の $x$ 座標を文字でおき、接線がともに直線 $PQ$ に垂直であるという条件を立式する。
（i）は接線が平行であることから $2$ 点の $x$ 座標の関係を導く。
（ii）は「接線と直線 $PQ$ が垂直」すなわち傾きの積が $-1$ となることから $x$ 座標についての条件式を作り、それが実数解をもつための条件に帰着させる。

解法1

(i)

曲線 $y = \alpha x^3 - \beta x$ を $f(x)$ とおく。導関数は $f'(x) = 3\alpha x^2 - \beta$ である。

$2$ 点 $P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ （$p \neq q$）とおく。 $P, Q$ における接線がともに線分 $PQ$ に垂直であることから、これら $2$ つの接線は互いに平行である。したがって、接線の傾きは等しく、以下の式が成り立つ。

$$ f'(p) = f'(q) $$

$$ 3\alpha p^2 - \beta = 3\alpha q^2 - \beta $$

$$ 3\alpha(p^2 - q^2) = 0 $$

$\alpha \neq 0$ より $p^2 - q^2 = 0$ となり、$p \neq q$ であるから $q = -p$ が導かれる。

点 $Q$ の $x$ 座標が $-p$ であるとき、その $y$ 座標は

$$ f(-p) = \alpha(-p)^3 - \beta(-p) = -\alpha p^3 + \beta p = -f(p) $$

となる。これは点 $Q$ が点 $P(p, f(p))$ と原点に関して対称な位置にあることを示している。

(ii)

（i）より、$P$ および $Q$ の座標は $P(p, \alpha p^3 - \beta p)$, $Q(-p, -\alpha p^3 + \beta p)$ とおける。 $P, Q$ は異なる点なので $p \neq 0$ である。

直線 $PQ$ の傾きは、

$$ \frac{(\alpha p^3 - \beta p) - (-\alpha p^3 + \beta p)}{p - (-p)} = \frac{2(\alpha p^3 - \beta p)}{2p} = \alpha p^2 - \beta $$

となる。

$P$ における接線の傾きは $3\alpha p^2 - \beta$ である。接線と直線 $PQ$ は垂直に交わるので、それらの傾きの積は $-1$ となる。（傾きが $0$ の場合、垂直な直線は $y$ 軸に平行となり傾きをもたないが、直線 $PQ$ が $y$ 軸に平行となるのは $p = -p$ すなわち $p=0$ のときのみであり、$p \neq 0$ に反するため、接線の傾きが $0$ になることはない。）よって、以下の等式が成り立つ。

$$ (\alpha p^2 - \beta)(3\alpha p^2 - \beta) = -1 $$

ここで $X = p^2$ とおくと、$p \neq 0$ より $X > 0$ である。上の式は $X$ についての方程式として次のように整理できる。

$$ (\alpha X - \beta)(3\alpha X - \beta) = -1 $$

$$ 3\alpha^2 X^2 - 4\alpha\beta X + \beta^2 + 1 = 0 $$

条件を満たす $2$ 点 $P, Q$ が存在するためには、この $X$ についての $2$ 次方程式が $X > 0$ の範囲に実数解をもつことが必要十分である。

$g(X) = 3\alpha^2 X^2 - 4\alpha\beta X + \beta^2 + 1$ とおく。 $y = g(X)$ のグラフは下に凸の放物線であり、その軸は $X = \frac{4\alpha\beta}{6\alpha^2} = \frac{2\beta}{3\alpha}$ である。また、$g(0) = \beta^2 + 1 > 0$ である。

$g(0) > 0$ であることから、$g(X) = 0$ が $X > 0$ の範囲に解をもつための条件は、正の重解をもつか、異なる $2$ つの正の解をもつことである。すなわち、判別式を $D$ とすると、以下の $2$ つの条件を同時に満たすことである。

判別式 $D \ge 0$
軸の位置 $\frac{2\beta}{3\alpha} > 0$

まず、判別式について調べる。

$$ \frac{D}{4} = (-2\alpha\beta)^2 - 3\alpha^2(\beta^2 + 1) = 4\alpha^2\beta^2 - 3\alpha^2\beta^2 - 3\alpha^2 = \alpha^2\beta^2 - 3\alpha^2 = \alpha^2(\beta^2 - 3) $$

$\alpha \neq 0$ より $\alpha^2 > 0$ であるから、$D \ge 0$ となる条件は

$$ \beta^2 - 3 \ge 0 $$

$$ \beta \le -\sqrt{3}, \quad \sqrt{3} \le \beta $$

次に、軸の条件について調べる。

$$ \frac{2\beta}{3\alpha} > 0 $$

これは $\alpha\beta > 0$ と同値であり、$\alpha$ と $\beta$ が同符号であることを意味する。

以上をまとめると、求める $(\alpha, \beta)$ の範囲は

$\beta \ge \sqrt{3}$ のとき $\alpha > 0$

$\beta \le -\sqrt{3}$ のとき $\alpha < 0$

解説

微分法を用いて接線の傾きと直線の傾きの関係を立式し、解の配置問題に帰着させる標準的な問題である。（i）において「両方の接線が直線 $PQ$ に垂直 $\implies$ $2$ つの接線は平行」という事実に気づくことが第一歩となる。（ii）では $x$ 座標の平方を新たな変数 $X$ とおくことで、方程式の次数を下げ、$2$ 次方程式の解の配置問題（$X > 0$ に解をもつ条件）に帰着させるのが定石である。$g(0) > 0$ であるため、解をもてば必ず正の解となることがポイントである。

答え

(i)

$P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ ($p \neq q$) とおくと、接線が平行であることから $f'(p)=f'(q)$ が成り立ち、これより $q=-p$ を得る。このとき $f(-p) = -f(p)$ となるため、点 $Q$ は点 $P$ と原点に関して対称な位置にある。（証明終）

(ii)

$\beta \ge \sqrt{3}$ かつ $\alpha > 0$、または $\beta \le -\sqrt{3}$ かつ $\alpha < 0$