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九州大学 1997年理系第8問解説

方針・初手

各袋からカードを1枚引くとき、それぞれの袋から金色のカードが出る確率は独立である。まずは1つの袋から金色のカードが出る確率を求め、全体の事象が反復試行（二項分布）として扱えることを見抜く。期待値は二項分布の公式または線形性を利用して計算し、極限計算では自然対数の底 $e$ に関連する基本極限を活用する。

解法1

(1)

$n$ 個の袋のそれぞれにおいて、金色のカード3枚、銀色のカード $(3n-3)$ 枚の合計 $3n$ 枚が入っている。 1つの袋から1枚カードを抜き出すとき、金色のカードが出る確率 $p$ は、

$$p = \frac{3}{3n} = \frac{1}{n}$$

である。各袋からカードを引く事象は独立であるから、抜き出された金色のカードの総枚数 $X_n$ は、二項分布 $B\left(n, \frac{1}{n}\right)$ に従う。 $n=4$ のとき、$X_4$ は二項分布 $B\left(4, \frac{1}{4}\right)$ に従うので、

$$P(X_4 = 3) = {}_4\text{C}_3 \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{4-3} = 4 \times \frac{1}{64} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{64}$$

$$P(X_4 = 2) = {}_4\text{C}_2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{4-2} = 6 \times \frac{1}{16} \times \frac{9}{16} = \frac{27}{128}$$

(2)

金色のカードを1枚抜き出すごとに100円を受け取るため、賞金は $100 X_4$ 円と表される。求めるものはその期待値 $E(100 X_4)$ である。期待値の線形性より、

$$E(100 X_4) = 100 E(X_4)$$

二項分布 $B\left(4, \frac{1}{4}\right)$ に従う確率変数 $X_4$ の期待値は $4 \times \frac{1}{4} = 1$ であるから、

$$100 E(X_4) = 100 \times 1 = 100$$

(3)

一般の $n$ ($n \geqq 3$) について、$X_n$ は二項分布 $B\left(n, \frac{1}{n}\right)$ に従うので、

$$P(X_n = 3) = {}_n\text{C}_3 \left(\frac{1}{n}\right)^3 \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6n^3} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-3}$$

(4)

(3) の式を変形して極限をとる。

$$P(X_n = 3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-3} = \frac{1}{6} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-3}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき、

$$1 - \frac{1}{n} \to 1$$

$$1 - \frac{2}{n} \to 1$$

$$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-3} \to 1^{-3} = 1$$

であり、自然対数の底 $e$ の定義より、

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 + \left( -\frac{1}{n} \right) \right)^{-n} \right\}^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

となる。したがって、求める極限は、

$$\lim_{n \to \infty} P(X_n = 3) = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{6e}$$

解説

各袋からカードを引く試行が独立であり、結果が「金色のカードが出る」「銀色のカードが出る」の2通りに分けられるため、典型的な二項分布のモデルとなる。期待値計算においては、定義に従って和を計算するよりも、二項分布の期待値の公式 $E(X) = np$ や期待値の線形性を用いると素早く求められる。 (4) における極限の計算は、二項分布のポアソン近似（ポアソンの極限定理）の背景となる計算を具体的に行っている。$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$ の極限計算を丁寧に示すことが重要である。