トップ› 名古屋大学› 2018年› 理系第1問

名古屋大学 2018年理系第1問解説

方針・初手

定積分で表された数列 $\{I_n\}$ に関する典型問題である。 (1) は $I_n$ と $I_{n+2}$ の和の形から、被積分関数を足し合わせることで分母が約分されることに気づけば容易に示せる。 (2) は積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における被積分関数の大小関係を評価する。 (3) は (2) の不等式と (1) の漸化式を用いて、$I_n$ を上下から評価し、はさみうちの原理に持ち込む。 (4) は数列の和 $S_n$ の各項を (1) の結果を用いて $I_k$ で表し、途中項が打ち消し合う形（階差の形）を作ることで極限を計算する。

解法1

(1)

$$ I_n + I_{n+2} = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+1} dx + \int_{0}^{1} \frac{x^{n+2}}{x^2+1} dx $$

$$ = \int_{0}^{1} \frac{x^n + x^{n+2}}{x^2+1} dx $$

$$ = \int_{0}^{1} \frac{x^n(1+x^2)}{x^2+1} dx $$

$$ = \int_{0}^{1} x^n dx $$

$$ = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} $$

$$ = \frac{1}{n+1} $$

よって、$I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1}$ が示された。

(2)

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、$x \geqq 0$ より $x^n \geqq x^{n+1}$ であるから、

$$ \frac{x^n}{x^2+1} \geqq \frac{x^{n+1}}{x^2+1} $$

両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ \int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+1} dx \geqq \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{x^2+1} dx $$

すなわち、$I_n \geqq I_{n+1}$ となる。

また、$0 \leqq x \leqq 1$ において $\frac{x^{n+1}}{x^2+1} \geqq 0$ であるから、

$$ I_{n+1} = \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{x^2+1} dx \geqq 0 $$

さらに、(1) より $I_n = \frac{1}{n+1} - I_{n+2}$ であり、上で示したことから $I_{n+2} \geqq 0$ なので、

$$ I_n \leqq \frac{1}{n+1} $$

以上より、$0 \leqq I_{n+1} \leqq I_n \leqq \frac{1}{n+1}$ が示された。

(3)

(2) より数列 $\{I_n\}$ は単調に減少するため、$I_{n+2} \leqq I_n$ が成り立つ。 (1) の $I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1}$ に対してこの不等式を用いると、

$$ I_n + I_n \geqq I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1} $$

よって、

$$ 2I_n \geqq \frac{1}{n+1} \iff I_n \geqq \frac{1}{2(n+1)} $$

また、$n \geqq 3$ のとき、(1) において $n$ を $n-2$ とすると $I_{n-2} + I_n = \frac{1}{n-1}$ となる。 (2) の単調減少性より $I_{n-2} \geqq I_n$ であるから、

$$ 2I_n \leqq I_{n-2} + I_n = \frac{1}{n-1} $$

よって、

$$ I_n \leqq \frac{1}{2(n-1)} $$

したがって、$n \geqq 3$ のとき、

$$ \frac{1}{2(n+1)} \leqq I_n \leqq \frac{1}{2(n-1)} $$

各辺に $n$ を掛けると、

$$ \frac{n}{2(n+1)} \leqq nI_n \leqq \frac{n}{2(n-1)} $$

ここで、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2(1+\frac{1}{n})} = \frac{1}{2} $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2(n-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2(1-\frac{1}{n})} = \frac{1}{2} $$

であるから、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} nI_n = \frac{1}{2} $$

(4)

(1) の結果において $n$ を $2k-1$ とすると、

$$ I_{2k-1} + I_{2k+1} = \frac{1}{2k} $$

これを用いて $S_n$ を変形すると、

$$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{2k} \\ &= \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} (I_{2k-1} + I_{2k+1}) \\ &= (I_1 + I_3) - (I_3 + I_5) + (I_5 + I_7) - \cdots + (-1)^{n-1} (I_{2n-1} + I_{2n+1}) \\ &= I_1 + (-1)^{n-1} I_{2n+1} \end{aligned} $$

ここで、$I_1$ を計算すると、

$$ I_1 = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx = \left[ \frac{1}{2} \log(x^2+1) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \log 2 $$

また、(2) より $0 \leqq I_{2n+1} \leqq \frac{1}{2n+2}$ であり、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+2} = 0$ なので、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n \to \infty} I_{2n+1} = 0 $$

したがって、求める極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} S_n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ I_1 + (-1)^{n-1} I_{2n+1} \right\} \\ &= \frac{1}{2} \log 2 + 0 \\ &= \frac{1}{2} \log 2 \end{aligned} $$

解説

定積分で定義された数列の極限を求める大学入試の頻出テーマである。 (1), (2) は確実に得点したい箇所であり、(3) ではさみうちの原理を使うための不等式評価がポイントとなる。単調減少であること（$I_{n+2} \leqq I_{n+1} \leqq I_n$）と和（$I_n + I_{n+2}$）を用いて、$I_n$ を $n$ の式だけで上下から挟む技術は、この手の問題で定石となる。 (4) は級数の和を定積分に帰着させる問題で、与えられた部分和の各項 $\frac{1}{2k}$ を (1) の結果を利用してうまく置換することで、途中の項が次々と消去される形を作り出せるかが鍵である。最後は求めた極限を用いて、残った端の項の処理を正確に行う。