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九州大学 2005年理系第1問解説

方針・初手

(1) 曲線 $C$ の接線のうち、傾きが $1$ となるものを求めます。接点の $x$ 座標をおいて微分係数が $1$ になる条件を解き、条件 $a \geqq 0$ に適するものを選択します。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の上下関係を調べ、囲まれた図形がどの区間にあるかを特定します。その後、「$y \geqq 0$ の範囲にある部分」という条件から回転させる領域を確定し、体積を積分で計算します。

解法1

(1) $y = 2\sin x$ より、導関数は $$y' = 2\cos x$$

直線 $l: y = x+a$ の傾きは $1$ であるから、曲線 $C$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きについて次の式が成り立ちます。 $$2\cos t = 1 \iff \cos t = \frac{1}{2}$$

$-\pi \leqq t \leqq \pi$ の範囲で解くと、$t = \pm \frac{\pi}{3}$ となります。それぞれの場合について接線の方程式を求めます。

(i) $t = \frac{\pi}{3}$ のとき接点の座標は $\left(\frac{\pi}{3}, \sqrt{3}\right)$ となります。接線の方程式は $$y - \sqrt{3} = 1 \cdot \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \iff y = x + \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$$

これと $y = x + a$ を比較して、$a = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ となります。 $\sqrt{3} > 1.7$、$\frac{\pi}{3} < \frac{4}{3} \approx 1.33$ より $a > 0$ となり、条件 $a \geqq 0$ を満たします。

(ii) $t = -\frac{\pi}{3}$ のとき接点の座標は $\left(-\frac{\pi}{3}, -\sqrt{3}\right)$ となります。接線の方程式は $$y - (-\sqrt{3}) = 1 \cdot \left( x - \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) \iff y = x - \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$$

これと $y = x + a$ を比較して、$a = -\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ となります。このとき明らかに $a < 0$ となり、条件 $a \geqq 0$ を満たしません。

(i), (ii) より、求める $a$ の値は $$a = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$$

(2) $f(x) = 2\sin x$、$g(x) = x + \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ とおきます。曲線 $C: y = f(x)$ と直線 $l: y = g(x)$ の位置関係を調べるため、差の関数 $h(x) = g(x) - f(x)$ を考えます。 $$h'(x) = 1 - 2\cos x$$

$-\pi \leqq x \leqq \pi$ において $h'(x) = 0$ となるのは $x = \pm \frac{\pi}{3}$ のときです。$h(x)$ の増減表は次のようになります。

$x$	$-\pi$	$\cdots$	$-\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\pi$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

各点の値を調べると、 $$h\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$$

$$h\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} + \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi > 0$$

$$h(-\pi) = -\pi + \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{4}{3}\pi < 0$$

したがって、$h(x) = 0$ となる $x$ は $-\pi < x < -\frac{\pi}{3}$ の範囲にただ1つ存在します（これを $\alpha$ とします）。増減表より、$\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ において $h(x) \geqq 0$、すなわち $g(x) \geqq f(x)$ となります。したがって、曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形はこの範囲に存在し、直線 $l$ が上端、曲線 $C$ が下端となります。

次に、この図形のうち「$y \geqq 0$ の範囲にある部分」を考えます。直線 $l: y = x+a$ について、$y \geqq 0$ となるのは $$x + a \geqq 0 \iff x \geqq -a = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}$$ のときです。また、曲線 $C: y = 2\sin x$ について、$y \geqq 0$ となるのは $0 \leqq x \leqq \pi$ のときです。以上から、回転させる領域の条件は以下のようになります。

$-a \leqq x \leqq 0$ の範囲：直線 $l$ は $y \geqq 0$、曲線 $C$ は $y \leqq 0$ であるため、領域は $0 \leqq y \leqq x+a$ となります。
$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ の範囲：直線 $l$、曲線 $C$ ともに $y \geqq 0$ であるため、領域は $2\sin x \leqq y \leqq x+a$ となります。

したがって、求める回転体の体積 $V$ は、直線 $l$ を区間 $[-a, \frac{\pi}{3}]$ で回転させた体積から、曲線 $C$ を区間 $[0, \frac{\pi}{3}]$ で回転させた体積を引くことで計算できます。 $$V = \pi \int_{-a}^{\frac{\pi}{3}} (x+a)^2 \,dx - \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2\sin x)^2 \,dx$$

それぞれの積分を計算します。第1項の積分は、 $$\pi \int_{-a}^{\frac{\pi}{3}} (x+a)^2 \,dx = \pi \left[ \frac{1}{3}(x+a)^3 \right]_{-a}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} \left( \frac{\pi}{3} + a \right)^3$$

ここで $a = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ より $\frac{\pi}{3} + a = \sqrt{3}$ であるから、 $$\frac{\pi}{3} \left(\sqrt{3}\right)^3 = \frac{\pi}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}\pi$$

第2項の積分は、半角の公式を利用して次数を下げます。 $$\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2\sin x)^2 \,dx = 4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 x \,dx$$

$$= 4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \,dx = 2\pi \left[ x - \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$

$$= 2\pi \left( \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} \right) = 2\pi \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{2}{3}\pi^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\pi$$

よって、求める体積 $V$ は $$V = \sqrt{3}\pi - \left( \frac{2}{3}\pi^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\pi \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}\pi - \frac{2}{3}\pi^2$$

解説

(2)において、「曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形の $y \geqq 0$ の範囲にある部分」を正確に図示・解釈できるかが最大の難所です。 2つのグラフの交点を求める過程で、片方の交点の $x$ 座標が求まらなくても、差の関数の増減から囲まれる領域の $x$ 座標の範囲（$\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$）と上下関係を論理的に特定できます。さらにその領域の $y \geqq 0$ の部分を取り出すと、結果として $x$ 軸をまたぐ部分が切り落とされ、直線の回転体から曲線の回転体をくり抜く形として綺麗に立式できるという、非常に巧妙な設定になっています。