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九州大学 2017年理系第1問解説

方針・初手

(1) は 2 曲線の式を連立し、$x=0$ 以外の解をもつような $a$ の条件を調べる。方程式の解の存在条件に帰着させる。

(2) は 2 曲線の接線が直交するという条件から、交点の $x$ 座標におけるそれぞれの導関数の積が $-1$ となることを用いる。

(3) は交点の $x$ 座標 $p$ の具体的な値は求まらないため、$p$ を用いたまま積分計算を行い、最後に求めておいた $\cos 2p$ や $\cos p$ の値を代入して面積を求める。

解法1

(1)

$C_1: y = a \tan x$、$C_2: y = \sin 2x$ とする。

これらが原点以外の交点をもつための条件は、方程式 $a \tan x = \sin 2x$ が $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲に解をもつことである。

方程式を変形すると、

$$ a \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x \cos x $$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $\sin x \neq 0$ であるから、両辺を $\sin x$ で割って整理すると、

$$ a = 2 \cos^2 x $$

$$ \cos^2 x = \frac{a}{2} $$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$0 < \cos x < 1$ より $0 < \cos^2 x < 1$ であるから、方程式が解をもつ条件は、

$$ 0 < \frac{a}{2} < 1 $$

したがって、求める $a$ の条件は、

$$ 0 < a < 2 $$

(2)

交点 $P$ の $x$ 座標 $p$ は $0 < p < \frac{\pi}{2}$ であり、(1)より、

$$ \cos^2 p = \frac{a}{2} $$

を満たす。

$f(x) = a \tan x$, $g(x) = \sin 2x$ とおくと、それぞれの導関数は、

$$ f'(x) = \frac{a}{\cos^2 x} $$

$$ g'(x) = 2 \cos 2x $$

点 $P$ におけるそれぞれの接線が直交するから、$f'(p)g'(p) = -1$ が成り立つ。

$$ \frac{a}{\cos^2 p} \cdot 2 \cos 2p = -1 $$

ここで、$\cos^2 p = \frac{a}{2}$ を代入すると、

$$ \frac{a}{\frac{a}{2}} \cdot 2 \cos 2p = -1 $$

$$ 4 \cos 2p = -1 $$

$$ \cos 2p = -\frac{1}{4} $$

また、半角の公式 $\cos^2 p = \frac{1 + \cos 2p}{2}$ に $\cos^2 p = \frac{a}{2}$ を代入して、

$$ \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos 2p}{2} $$

$$ a = 1 + \cos 2p $$

$\cos 2p = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$$ a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

これは (1) の条件 $0 < a < 2$ を満たす。

(3)

$a = \frac{3}{4}$ のとき、(2)の計算より $\cos^2 p = \frac{3}{8}$ であり、$0 < p < \frac{\pi}{2}$ より $\cos p = \frac{\sqrt{6}}{4}$ である。

$0 < x < p$ における $C_1$ と $C_2$ の上下関係を調べる。

$$ \sin 2x - \frac{3}{4} \tan x = 2 \sin x \cos x - \frac{3\sin x}{4\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} \left( 2 \cos^2 x - \frac{3}{4} \right) $$

$0 < x < p$ においては $\cos x > \cos p$ より $\cos^2 x > \cos^2 p = \frac{3}{8}$ である。

よって、$2 \cos^2 x - \frac{3}{4} > 2 \cdot \frac{3}{8} - \frac{3}{4} = 0$ となり、常に $\sin 2x > \frac{3}{4} \tan x$ が成り立つ。

すなわち、$0 < x < p$ において $C_2$ は $C_1$ の上側にある。

したがって、求める面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \int_0^p \left( \sin 2x - \frac{3}{4} \tan x \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{3}{4} \log(\cos x) \right]_0^p \\ &= -\frac{1}{2} \cos 2p + \frac{3}{4} \log(\cos p) - \left( -\frac{1}{2} + 0 \right) \\ &= -\frac{1}{2} \cos 2p + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \log(\cos p) \end{aligned} $$

ここで、$\cos 2p = -\frac{1}{4}$, $\cos p = \frac{\sqrt{6}}{4}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} S &= -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \log \frac{\sqrt{6}}{4} \\ &= \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \log \left( \frac{\sqrt{6}}{4} \right)^2 \\ &= \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \log \frac{6}{16} \\ &= \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \log \frac{3}{8} \\ &= \frac{5}{8} - \frac{3}{8} \log \frac{8}{3} \end{aligned} $$

解説

三角関数の微積分に関する標準的な問題である。

(1) では交点の $x$ 座標を直接求めることはできないが、「解をもつ条件」として $\cos^2 x$ のとり得る値の範囲に帰着させるのがポイントである。

(3) の面積計算では、定積分の中に $p$ が残るが、(2) で求めた $\cos 2p$ や $\cos p$ の値を後から代入することで計算を完遂できる。$\tan x$ の積分は $\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\log|\cos x| + C$ となる基本公式を正しく用いる必要がある。