九州大学 2014年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) は導関数 $f'(x)$ を計算し、接線の傾きが $\frac{1}{2}$ となるような $x$ の値を求める。接点の座標が分かれば、公式通りに接線の方程式を立てる。 (2) は回転体の体積を求める問題である。積分区間は $0 \leqq x \leqq a$ であり、被積分関数は $(f(x))^2$ となる。これを展開し、多項式の積分、部分積分、および三角関数の半角の公式を用いて各項を計算していく。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x) = x - \sin x$ を微分すると、

$$ f'(x) = 1 - \cos x $$

となる。接線の傾きが $\frac{1}{2}$ であるから、

$$ 1 - \cos x = \frac{1}{2} $$

$$ \cos x = \frac{1}{2} $$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲でこれを解くと、

$$ x = \frac{\pi}{3} $$

これが接点の $x$ 座標 $a$ である。このとき、接点の $y$ 座標 $b$ は、

$$ b = f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

よって、接点の座標 $(a, b)$ は $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ である。

次に、接線 $l$ の方程式を求める。傾きが $\frac{1}{2}$ で点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ を通るので、

$$ y - \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $$

$$ y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ y = \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

(2)

(1)より $a = \frac{\pi}{3}$ である。区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ において、

$$ f'(x) = 1 - \cos x \geqq 0 $$

であるから、$f(x)$ は単調に増加し、$f(0) = 0$ であるため $f(x) \geqq 0$ となる。 したがって、求める回転体の体積 $V$ は以下の定積分で計算できる。

$$ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (x - \sin x)^2 dx $$

被積分関数を展開すると、

$$ (x - \sin x)^2 = x^2 - 2x \sin x + \sin^2 x $$

となる。それぞれの項の積分を個別に計算する。

第1項の積分は、

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi^3}{81} $$

第2項の積分は、部分積分法を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \sin x dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x (-\cos x)' dx \\ &= \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 1 \cdot (-\cos x) dx \\ &= \left( -\frac{\pi}{3} \cos\frac{\pi}{3} - 0 \right) + \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

第3項の積分は、半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 x dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx \\ &= \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4} \sin\frac{2\pi}{3} \\ &= \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \end{aligned} $$

これらを体積 $V$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left\{ \frac{\pi^3}{81} - 2 \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{\pi^3}{81} + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ &= \pi \left( \frac{\pi^3}{81} + \frac{\pi}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{8} \right) \end{aligned} $$

$$ V = \frac{\pi^4}{81} + \frac{\pi^2}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{8}\pi $$

解説

(1) は基本的な微分と接線の方程式の立式であり、確実に取りたい問題である。(2) は $x$ 軸まわりの回転体の体積を求める問題で、数IIIの積分計算の典型的な題材である。 $(x - \sin x)^2$ の展開後に出てくる $x \sin x$ は部分積分、$\sin^2 x$ は半角の公式による次数下げ、という定石の組み合わせで計算できる。計算量と項数が多いため、符号や係数のミスに注意して慎重に処理を進める必要がある。

答え

(1) $l$ の方程式：$y = \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$，接点の座標 $(a, b) = \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ (2) $V = \frac{\pi^4}{81} + \frac{\pi^2}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{8}\pi$