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九州大学 2013年理系第1問解説

方針・初手

まず、2つの曲線の交点 $P$ の座標を求める。方程式 $\sqrt{x} = \frac{a^3}{x}$ を解き、$x$ 座標を確定させる。

(1) は $C_1$ の接線 $l_1$ の方程式を求め、上下関係を把握して定積分を計算する。$x \geqq 0$ において $C_1$ が上に凸であるため、接線 $l_1$ は常に $C_1$ の上側にあることに注意する。

(2) は $P$ における $C_2$ の接線を $l_2$ とし、それぞれの直線の傾きから $\tan \theta(a)$ を求める。$\lim_{a \to \infty} a \sin \theta(a)$ を求めるにあたっては、$\sin \theta(a)$ を直接計算して極限をとる方法と、$\lim_{a \to \infty} \theta(a) = 0$ になることを利用して $\tan \theta(a)$ と $\cos \theta(a)$ の極限に帰着させる方法がある。

解法1

$C_1: y = \sqrt{x}$ と $C_2: y = \frac{a^3}{x}$ の交点 $P$ の $x$ 座標は $\sqrt{x} = \frac{a^3}{x}$ を解いて求める。

$x > 0$ であるから、両辺に $x$ を掛けて

$$ x\sqrt{x} = a^3 $$

$$ x^{\frac{3}{2}} = (a^2)^{\frac{3}{2}} $$

$a > 1$ より $x = a^2$ となり、このとき $y = \sqrt{a^2} = a$ である。したがって、点 $P$ の座標は $(a^2, a)$ である。

(1)

$C_1$ において $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ であるから、点 $P(a^2, a)$ における接線 $l_1$ の傾きは $\frac{1}{2a}$ である。

よって $l_1$ の方程式は

$$ y - a = \frac{1}{2a}(x - a^2) $$

$$ y = \frac{1}{2a}x + \frac{a}{2} $$

$x \geqq 0$ において、曲線 $y = \sqrt{x}$ は上に凸であるため、接線 $l_1$ は曲線 $C_1$ の上側にある。

求める面積を $S$ とすると

$$ S = \int_{0}^{a^2} \left( \frac{1}{2a}x + \frac{a}{2} - \sqrt{x} \right) dx $$

$$ S = \left[ \frac{1}{4a}x^2 + \frac{a}{2}x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{a^2} $$

$$ S = \frac{a^4}{4a} + \frac{a^3}{2} - \frac{2}{3}(a^2)^{\frac{3}{2}} $$

$$ S = \frac{a^3}{4} + \frac{a^3}{2} - \frac{2}{3}a^3 $$

$$ S = \frac{1}{12}a^3 $$

(2)

$C_2$ において $y' = -\frac{a^3}{x^2}$ であるから、点 $P(a^2, a)$ における $C_2$ の接線を $l_2$ とすると、その傾きは $-\frac{a^3}{(a^2)^2} = -\frac{1}{a}$ である。

$l_1, l_2$ の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、$m_1 = \frac{1}{2a}, m_2 = -\frac{1}{a}$ である。

$l_1, l_2$ のなす角 $\theta(a)$ は $0 < \theta(a) < \frac{\pi}{2}$ を満たすので

$$ \tan \theta(a) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| $$

$$ \tan \theta(a) = \left| \frac{\frac{1}{2a} - \left(-\frac{1}{a}\right)}{1 + \frac{1}{2a}\left(-\frac{1}{a}\right)} \right| $$

$$ \tan \theta(a) = \left| \frac{\frac{3}{2a}}{1 - \frac{1}{2a^2}} \right| $$

分母分子に $2a^2$ を掛けて整理すると

$$ \tan \theta(a) = \left| \frac{3a}{2a^2 - 1} \right| $$

$a > 1$ より $3a > 0$ かつ $2a^2 - 1 > 0$ であるから、絶対値はそのまま外れて

$$ \tan \theta(a) = \frac{3a}{2a^2 - 1} $$

求める極限 $\lim_{a \to \infty} a \sin \theta(a)$ について考える。ここで $\tan \theta(a)$ の極限を調べると

$$ \lim_{a \to \infty} \tan \theta(a) = \lim_{a \to \infty} \frac{\frac{3}{a}}{2 - \frac{1}{a^2}} = 0 $$

$0 < \theta(a) < \frac{\pi}{2}$ であるため、$\lim_{a \to \infty} \theta(a) = 0$ となり、$\lim_{a \to \infty} \cos \theta(a) = \cos 0 = 1$ である。

したがって、極限の性質を利用して変形すると

$$ \lim_{a \to \infty} a \sin \theta(a) = \lim_{a \to \infty} a \tan \theta(a) \cos \theta(a) $$

$$ = \lim_{a \to \infty} a \left( \frac{3a}{2a^2 - 1} \right) \cos \theta(a) $$

$$ = \lim_{a \to \infty} \frac{3}{2 - \frac{1}{a^2}} \cos \theta(a) $$

$$ = \frac{3}{2 - 0} \cdot 1 $$

$$ = \frac{3}{2} $$

解法2

(2) について、三角関数の相互関係を用いて $\sin \theta(a)$ を直接求める別解を示す。（$\tan \theta(a)$ を求めるまでの過程は解法1と同様）

$1 + \tan^2 \theta(a) = \frac{1}{\cos^2 \theta(a)}$ より

$$ \frac{1}{\cos^2 \theta(a)} = 1 + \left( \frac{3a}{2a^2 - 1} \right)^2 $$

$$ = \frac{(2a^2 - 1)^2 + 9a^2}{(2a^2 - 1)^2} $$

$$ = \frac{4a^4 - 4a^2 + 1 + 9a^2}{(2a^2 - 1)^2} $$

$$ = \frac{4a^4 + 5a^2 + 1}{(2a^2 - 1)^2} $$

$0 < \theta(a) < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \theta(a) > 0$ かつ $\sin \theta(a) > 0$ であるから

$$ \cos \theta(a) = \frac{2a^2 - 1}{\sqrt{4a^4 + 5a^2 + 1}} $$

$$ \sin \theta(a) = \tan \theta(a) \cos \theta(a) = \frac{3a}{2a^2 - 1} \cdot \frac{2a^2 - 1}{\sqrt{4a^4 + 5a^2 + 1}} = \frac{3a}{\sqrt{4a^4 + 5a^2 + 1}} $$

よって、求める極限は

$$ \lim_{a \to \infty} a \sin \theta(a) = \lim_{a \to \infty} \frac{3a^2}{\sqrt{4a^4 + 5a^2 + 1}} $$

$a > 0$ より $a^2 = \sqrt{a^4}$ であるから、分母・分子を $a^2$ で割ると

$$ \lim_{a \to \infty} a \sin \theta(a) = \lim_{a \to \infty} \frac{3}{\sqrt{4 + \frac{5}{a^2} + \frac{1}{a^4}}} $$

$$ = \frac{3}{\sqrt{4 + 0 + 0}} $$

$$ = \frac{3}{2} $$

解説

(1) は定積分による面積計算の基本問題である。積分区間において被積分関数がどちらが上にあるかを把握することが重要であるが、関数 $y = \sqrt{x}$ のグラフの概形（上に凸）を考えれば、接線が常に曲線の上側に来ることは明らかである。

(2) では2直線のなす角の正接（$\tan$）を求める公式 $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ を用いる。その後、$\sin \theta(a)$ を含む極限を求める際に、解法1のように $\lim \theta(a) = 0$ に着目し $\sin \theta(a) = \tan \theta(a) \cos \theta(a)$ と書き換えて極限を計算する工夫は、計算量を大幅に減らすことができるため実戦的である。解法2のように直接 $\sin \theta(a)$ を求めてもよいが、式が煩雑になりやすく計算ミスのリスクが高まる。