名古屋大学 1990年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1) まず、曲線 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 上の点 $P$ における法線の方程式を求め、その $x$ 切片として円の中心 $C$ の座標を特定する。これにより、直線 $CP$ の傾きから $\theta(a)$ の関係式（$\tan \theta(a)$）が得られる。 次に、回転体の体積 $V(a)$ は、円弧の右側部分を $y$ 軸の周りに回転させたものとして定式化する。被積分関数を展開し、$y$ の積分を実行する過程で、$c$（中心の $x$ 座標）や $r$（円の半径）を $\theta(a)$ と $a$ を用いて表すことで式を整理していく。

(2) (1) で得られた $\tan \theta(a)$ の関係式を用いて、まず $\lim_{a \to \infty} \theta(a)$ を求める。その後、(1) で求めた $V(a)$ の式において極限をとる。

解法1

(1)

曲線の方程式を $y = f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$ とおく。これを微分すると、

$$ f'(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} $$

となる。点 $P\left(a, \frac{1}{\sqrt{a}}\right)$ における接線の傾きは $f'(a) = -\frac{1}{2a\sqrt{a}}$ であるから、点 $P$ を通る法線の傾きは $2a\sqrt{a}$ となる。 したがって、点 $P$ における法線の方程式は、

$$ y - \frac{1}{\sqrt{a}} = 2a\sqrt{a}(x - a) $$

円の中心 $C$ はこの法線と $x$ 軸の交点であるから、$y=0$ を代入して、

$$ -\frac{1}{\sqrt{a}} = 2a\sqrt{a}(x - a) $$

$$ x - a = -\frac{1}{2a^2} $$

$$ x = a - \frac{1}{2a^2} $$

よって、中心 $C$ の座標は $\left(a - \frac{1}{2a^2}, 0\right)$ である。 ここで、直線 $CP$ の傾きは $2a\sqrt{a}$ (>0) であり、$x$ 軸の正の向きと直線 $CP$ のなす角が $\theta(a)$ $\left(0 < \theta(a) < \frac{\pi}{2}\right)$ であるから、

$$ \tan \theta(a) = 2a\sqrt{a} $$

が成り立つ。以下、簡略化のため $\theta(a)$ を単に $\theta$ と表記する。 円 $D$ の半径を $r$、中心 $C$ の $x$ 座標を $c = a - \frac{1}{2a^2}$ とおくと、点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の長さが $r \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{a}}$ であるから、

$$ r = \frac{1}{\sqrt{a}\sin \theta} $$

となる。円 $D$ の方程式は $(x-c)^2 + y^2 = r^2$ であり、図形が $y$ 軸の周りを1回転してできる立体の体積 $V(a)$ は、$x \geqq a$ の領域にある円弧 $x = c + \sqrt{r^2 - y^2}$ と直線 $x=a$ で囲まれる部分を回転させて得られるため、次のように立式できる。

$$ V(a) = \pi \int_{-r\sin \theta}^{r\sin \theta} \left\{ (c + \sqrt{r^2 - y^2})^2 - a^2 \right\} dy $$

被積分関数は偶関数であるから、

$$ \begin{aligned} V(a) &= 2\pi \int_{0}^{r\sin \theta} \left( c^2 + 2c\sqrt{r^2 - y^2} + r^2 - y^2 - a^2 \right) dy \\ &= 2\pi \int_{0}^{r\sin \theta} \left\{ (c^2 + r^2 - a^2) - y^2 + 2c\sqrt{r^2 - y^2} \right\} dy \end{aligned} $$

ここで、定積分の各項を計算する。 第3項の積分は、半径 $r$ の円の面積の一部を表しており、$y = r\sin t$ と置換することで、

$$ \int_{0}^{r\sin \theta} \sqrt{r^2 - y^2} dy = \frac{1}{2}r^2(\theta + \sin \theta \cos \theta) $$

となる。したがって $V(a)$ は、

$$ V(a) = 2\pi \left\{ (c^2 + r^2 - a^2)r\sin \theta - \frac{1}{3}r^3\sin^3 \theta + c r^2 (\theta + \sin \theta \cos \theta) \right\} $$

と計算される。 ここで、図形的関係から $a - c = r\cos \theta$ すなわち $a = c + r\cos \theta$ であることを用いると、

$$ c^2 + r^2 - a^2 = c^2 + r^2 - (c + r\cos \theta)^2 = r^2\sin^2 \theta - 2cr\cos \theta $$

となる。これに $r\sin \theta$ を掛けると、

$$ (c^2 + r^2 - a^2)r\sin \theta = r^3\sin^3 \theta - 2cr^2\sin \theta \cos \theta $$

これを $V(a)$ の式に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} V(a) &= 2\pi \left\{ \left( r^3\sin^3 \theta - 2cr^2\sin \theta \cos \theta \right) - \frac{1}{3}r^3\sin^3 \theta + c r^2 (\theta + \sin \theta \cos \theta) \right\} \\ &= 2\pi \left\{ c r^2 (\theta - \sin \theta \cos \theta) + \frac{2}{3}r^3\sin^3 \theta \right\} \end{aligned} $$

最後に、$c$ と $r$ を $a$ と $\theta$ の式で置き換える。 $c = a - \frac{1}{2a^2}$、$r = \frac{1}{\sqrt{a}\sin \theta}$ であるから、

$$ c r^2 = \left(a - \frac{1}{2a^2}\right) \frac{1}{a\sin^2 \theta} = \left( 1 - \frac{1}{2a^3} \right) \frac{1}{\sin^2 \theta} $$

$$ r^3\sin^3 \theta = (r\sin \theta)^3 = \left( \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^3 = \frac{1}{a\sqrt{a}} $$

これらを代入して、

$$ V(a) = 2\pi \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2a^3} \right) \frac{\theta - \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{2}{3a\sqrt{a}} \right\} $$

以上より、$\theta(a)$ を用いた明示的な表記に戻すと、

$$ V(a) = 2\pi \left( 1 - \frac{1}{2a^3} \right) \frac{\theta(a) - \sin \theta(a) \cos \theta(a)}{\sin^2 \theta(a)} + \frac{4\pi}{3a\sqrt{a}} $$

となる。

(2)

(1) より、

$$ \tan \theta(a) = 2a\sqrt{a} $$

である。$a \to \infty$ のとき、$2a\sqrt{a} \to \infty$ となる。 $0 < \theta(a) < \frac{\pi}{2}$ の範囲において $\tan \theta(a) \to \infty$ となるのは $\theta(a) \to \frac{\pi}{2}$ のときであるから、

$$ \lim_{a \to \infty} \theta(a) = \frac{\pi}{2} $$

である。 次に、$\lim_{a \to \infty} V(a)$ を計算する。$a \to \infty$ のとき、各項は以下のように振る舞う。

$$ 1 - \frac{1}{2a^3} \to 1 $$

$$ \theta(a) \to \frac{\pi}{2} $$

$$ \sin \theta(a) \to \sin \frac{\pi}{2} = 1 $$

$$ \cos \theta(a) \to \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$

$$ \frac{4\pi}{3a\sqrt{a}} \to 0 $$

これらを (1) で求めた $V(a)$ の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} \lim_{a \to \infty} V(a) &= 2\pi \left\{ 1 \cdot \frac{\frac{\pi}{2} - 1 \cdot 0}{1^2} + 0 \right\} \\ &= 2\pi \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= \pi^2 \end{aligned} $$

となる。

解説

回転体の体積を真面目に定積分で求める計算力が試される問題である。$y$ 軸周りの回転体であるため、$x(y)^2$ の積分を実行する方針が基本となる。 途中で現れる積分 $\int \sqrt{r^2-y^2} dy$ は、円の一部（扇形と三角形の和）の面積を表す図形的意味を持っており、式をそのまま展開して強引に計算するよりも、$\theta$ という角度パラメータを活かしてまとめることで、大幅に計算の見通しが良くなる。 また、本問は「パップス・ギュルダンの定理」または「円筒分割法（バームクーヘン積分）」を用いることでも $V(a)$ を導出でき、そちらのアプローチをとると積分計算が最初から扇形の面積や重心計算に帰着されるため、より洗練された解答を作ることも可能である。

答え

(1) $$ V(a) = 2\pi \left( 1 - \frac{1}{2a^3} \right) \frac{\theta(a) - \sin \theta(a) \cos \theta(a)}{\sin^2 \theta(a)} + \frac{4\pi}{3a\sqrt{a}} $$

(2) $$ \lim_{a \to \infty} \theta(a) = \frac{\pi}{2} $$

$$ \lim_{a \to \infty} V(a) = \pi^2 $$