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東北大学 1978年理系第5問解説

方針・初手

与えられた条件から回転体の体積 $V(t)$ を定積分を用いて立式し、$t$ について微分して増減を調べる。定積分で表された関数の微分においては、積分を実行してから微分する方法と、微積分学の基本定理（および合成関数の微分法）を用いて直接微分する方法がある。

解法1

$x$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積 $V(t)$ は、次のように表される。

$$ V(t) = \pi \int_{t}^{2t} \sin^2 x \, dx $$

$V(t)$ を $t$ で微分する。定積分で表された関数の微分法により、

$$ V'(t) = \pi \left\{ \sin^2(2t) \cdot (2t)' - \sin^2 t \cdot (t)' \right\} $$

$$ V'(t) = \pi ( 2 \sin^2 2t - \sin^2 t ) $$

ここで、2倍角の公式 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ を用いて変形する。

$$ V'(t) = \pi \{ 2 (2 \sin t \cos t)^2 - \sin^2 t \} $$

$$ V'(t) = \pi ( 8 \sin^2 t \cos^2 t - \sin^2 t ) $$

$$ V'(t) = \pi \sin^2 t (8 \cos^2 t - 1) $$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\sin^2 t > 0$ であるから、$V'(t) = 0$ となる条件は

$$ 8 \cos^2 t - 1 = 0 $$

すなわち

$$ \cos^2 t = \frac{1}{8} $$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ より $\cos t > 0$ であるから、これを満たす $t$ はただ1つ存在し、その値を $\alpha$ とすると

$$ \cos \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $$

このとき、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\cos t$ は単調に減少するため、$8 \cos^2 t - 1$ の値も単調に減少する。したがって、$V'(t)$ の符号は $t = \alpha$ の前後で正から負へと変化する。よって $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ における $V(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$V'(t)$	$0$	$+$	$0$	$-$
$V(t)$	$0$	$\nearrow$	極大かつ最大	$\searrow$

増減表より、$V(t)$ は $t = \alpha$ のとき最大となる。したがって、求める値は

$$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4} $$

解法2

定積分を計算してから微分する。

$$ V(t) = \pi \int_{t}^{2t} \sin^2 x \, dx $$

半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて変形する。

$$ V(t) = \pi \int_{t}^{2t} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx $$

$$ V(t) = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{t}^{2t} $$

$$ V(t) = \frac{\pi}{2} \left\{ \left( 2t - \frac{1}{2} \sin 4t \right) - \left( t - \frac{1}{2} \sin 2t \right) \right\} $$

$$ V(t) = \frac{\pi}{2} \left( t - \frac{1}{2} \sin 4t + \frac{1}{2} \sin 2t \right) $$

これを $t$ で微分する。

$$ V'(t) = \frac{\pi}{2} \left( 1 - 2 \cos 4t + \cos 2t \right) $$

2倍角の公式 $\cos 4t = 2 \cos^2 2t - 1$ を用いて $\cos 2t$ に統一する。

$$ V'(t) = \frac{\pi}{2} \{ 1 - 2 (2 \cos^2 2t - 1) + \cos 2t \} $$

$$ V'(t) = \frac{\pi}{2} ( -4 \cos^2 2t + \cos 2t + 3 ) $$

$$ V'(t) = -\frac{\pi}{2} (4 \cos 2t + 3)(\cos 2t - 1) $$

ここで、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ より $0 \leqq 2t \leqq \pi$ であり、$-1 \leqq \cos 2t \leqq 1$ である。したがって、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\cos 2t - 1 < 0$ であるから、$V'(t) = 0$ となるのは

$$ 4 \cos 2t + 3 = 0 $$

すなわち

$$ \cos 2t = -\frac{3}{4} $$

のときである。これを満たす $t$ を $\alpha$ とすると、

$$ \cos 2\alpha = -\frac{3}{4} $$

$2\alpha$ は $0 < 2\alpha < \pi$ の範囲にあるから、これを満たす $\alpha$ は区間内にただ1つ存在する。このとき、半角の公式 $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ より

$$ \cos^2 \alpha = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{1}{8} $$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \alpha > 0$ であるから、

$$ \cos \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $$

（増減は解法1と同様であり、$t = \alpha$ で最大値をとる）

解説

定積分で表された関数の最大値を求める典型問題である。直接微分公式 $\frac{d}{dt} \int_{g(t)}^{h(t)} f(x)dx = f(h(t))h'(t) - f(g(t))g'(t)$ を利用する解法1の方が、積分計算を省略できるため計算量が少なく、ミスを防ぎやすい。どちらの方針を採るにしても、導関数 $V'(t)$ を求めたあと、三角関数の公式を用いて因数分解し、$V'(t) = 0$ となる条件を特定する力が問われている。また、角 $\alpha$ の具体的な値が求まらなくても、$\cos \alpha$ の値は計算できるという点に注意する。