東北大学 1993年 理系 第2問 解説

方針・初手

点 $P$ の $x$ 座標を $a$ とおくと，$a \geqq 0$ である。まず，$P$ における法線の方程式を求め，その $x$ 軸との交点を出す。すると三角形の底辺と高さが求まるので，面積 $S$ を $a$ の関数で表せる。最後にその関数の最大値を調べればよい。

解法1

$P$ を

$$ P=(a,\log(a+1)+1)\qquad (a\geqq 0) $$

とおく。

曲線

$$ y=\log(x+1)+1 $$

の導関数は

$$ y'=\frac{1}{x+1} $$

であるから，$P$ における接線の傾きは $\dfrac{1}{a+1}$，したがって法線の傾きは

$$ -(a+1) $$

である。

よって，$P$ における法線の方程式は

$$ y-(\log(a+1)+1)=-(a+1)(x-a) $$

となる。

この法線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする。$x$ 軸上では $y=0$ だから，

$$ -(\log(a+1)+1)=-(a+1)(x-a) $$

より，

$$ x=a+\frac{\log(a+1)+1}{a+1} $$

となる。したがって，

$$ Q=\left(a+\frac{\log(a+1)+1}{a+1},,0\right) $$

である。

また，$P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $H$ とすると，

$$ H=(a,0) $$

であるから，

$$ PH=\log(a+1)+1 $$

および

$$ HQ=\frac{\log(a+1)+1}{a+1} $$

である。

よって，三角形の面積 $S$ は

$$ S=\frac12 \cdot PH \cdot HQ $$

であり，

$$ S=\frac12\bigl(\log(a+1)+1\bigr)\cdot \frac{\log(a+1)+1}{a+1} =\frac{(\log(a+1)+1)^2}{2(a+1)} $$

となる。

ここで

$$ t=a+1 $$

とおくと，$a\geqq 0$ より $t\geqq 1$ であり，

$$ S=\frac{(\log t+1)^2}{2t} $$

と書ける。

これを微分すると，

$$ S' =\frac12\cdot \frac{2(\log t+1)\cdot \frac1t \cdot t-(\log t+1)^2}{t^2} =\frac{(\log t+1)(1-\log t)}{2t^2} $$

となる。

$t\geqq 1$ では $\log t+1>0$ であるから，$S'$ の符号は $1-\log t$ の符号で決まる。

(i) $1\leqq t<e$ のとき

$$ 1-\log t>0 $$

より，

$$ S'>0 $$

である。

(ii) $t=e$ のとき

$$ S'=0 $$

である。

(iii) $t>e$ のとき

$$ 1-\log t<0 $$

より，

$$ S'<0 $$

である。

したがって，$S$ は $t=e$ のとき最大となる。すなわち，

$$ a=e-1 $$

のとき最大である。

このとき，

$$ S=\frac{(\log e+1)^2}{2e} =\frac{(1+1)^2}{2e} =\frac{2}{e} $$

となる。

解説

法線と座標軸で囲まれる図形の面積を求める問題では，まず法線の方程式を立て，$x$ 軸との交点を求めるのが基本方針である。この問題でも，底辺 $HQ$ と高さ $PH$ が素直に表せるので，面積はすぐ 1 変数関数に落ちる。

また，$\log(a+1)$ が出てくるので，$t=a+1$ と置くと式が整い，微分後の符号判定が非常に見やすくなる。最大値問題として標準的である。

答え

$S$ の最大値は

$$ \frac{2}{e} $$

である。