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大阪大学 1995年理系第3問解説

方針・初手

曲線上の点における接線の方程式を求め、それが点 $(-a, 0)$ を通るという条件から、接点の $x$ 座標 $x_0$ が満たす関係式を導く。その後、$S(a)$ を定積分で表し、得られた関係式を用いて $x_0$ を消去する。$\frac{S(a)}{a^2}$ の最大値は、得られた式を $a$ で微分して増減を調べることで求める。

解法1

(1)

$f(x) = a \log x + 1$ より、導関数は以下のようになる。

$$ f'(x) = \frac{a}{x} $$

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, a \log t + 1)$ における接線の方程式は、

$$ y - (a \log t + 1) = \frac{a}{t}(x - t) $$

$$ y = \frac{a}{t} x - a + a \log t + 1 $$

この接線が点 $(-a, 0)$ を通るため、代入して整理する。

$$ 0 = -\frac{a^2}{t} - a + a \log t + 1 $$

$$ \frac{a^2}{t} = a \log t - a + 1 $$

接点の $x$ 座標が $x_0$ であるから、$t = x_0$ として次の関係式を得る。

$$ \frac{a^2}{x_0} = a \log x_0 - a + 1 \cdots ① $$

次に、積分区間を決定するため、曲線と $x$ 軸の交点および $x_0$ の大小関係を調べる。曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$a \log x + 1 = 0$ より $x = e^{-1/a}$ である。ここで、関数 $k(x) = a \log x - \frac{a^2}{x} - a + 1$ $(x > 0)$ を考えると、

$$ k'(x) = \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2} > 0 $$

となり、$k(x)$ は単調増加する。さらに、$\lim_{x \to +0}k(x) = -\infty$、$\lim_{x \to \infty}k(x) = \infty$ より、$k(x) = 0$ はただ1つの正の実数解 $x_0$ をもつ。また、$x = e^{-1/a}$ のときの $k(x)$ の値は、

$$ k(e^{-1/a}) = a \left(-\frac{1}{a}\right) - \frac{a^2}{e^{-1/a}} - a + 1 = -a^2 e^{1/a} - a < 0 $$

となる。したがって、$k(x_0) = 0$ を満たす $x_0$ は $x_0 > e^{-1/a}$ を満たす。よって、区間 $e^{-1/a} \le x \le x_0$ において $f(x) \ge 0$ であるから、求める面積 $S(a)$ は次のように計算できる。

$$ S(a) = \int_{e^{-1/a}}^{x_0} (a \log x + 1) dx $$

$$ = \left[ a(x \log x - x) + x \right]_{e^{-1/a}}^{x_0} $$

$$ = (a x_0 \log x_0 - a x_0 + x_0) - \left( a e^{-1/a} \left(-\frac{1}{a}\right) - a e^{-1/a} + e^{-1/a} \right) $$

$$ = x_0(a \log x_0 - a + 1) - \left( -e^{-1/a} - a e^{-1/a} + e^{-1/a} \right) $$

$$ = x_0(a \log x_0 - a + 1) + a e^{-1/a} $$

ここで①の関係式を用いると、$a \log x_0 - a + 1 = \frac{a^2}{x_0}$ であるから、これを代入する。

$$ S(a) = x_0 \cdot \frac{a^2}{x_0} + a e^{-1/a} = a^2 + a e^{-1/a} $$

(2)

(1) の結果より、

$$ \frac{S(a)}{a^2} = \frac{a^2 + a e^{-1/a}}{a^2} = 1 + \frac{1}{a} e^{-1/a} $$

これを $g(a)$ とおき、$a > 0$ における増減を調べる。

$$ g'(a) = -\frac{1}{a^2} e^{-1/a} + \frac{1}{a} e^{-1/a} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{1 - a}{a^3} e^{-1/a} $$

$a > 0, e^{-1/a} > 0$ であるから、$g'(a) = 0$ となるのは $a = 1$ のときのみである。導関数の符号は、$0 < a < 1$ のとき $g'(a) > 0$、$a > 1$ のとき $g'(a) < 0$ となる。したがって、$g(a)$ は $a = 1$ のとき極大かつ最大となる。求める最大値は、

$$ g(1) = 1 + 1 \cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{e} $$

解説

接点の $x$ 座標 $x_0$ は方程式を解いて直接求めることができない（超越方程式となる）が、定積分して得られた結果の中に $x_0$ が満たす関係式と同じ形を作り出すことで、$x_0$ を綺麗に消去できるという典型的なテーマの問題である。面積の式を立てる際に、接点が $x$ 軸との交点より右側にあること（$x_0 > e^{-1/a}$）を論証しておくと、より数学的に正確な解答となる。