名古屋大学 2000年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) 曲線 $C$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とおいて、接線の方程式を $t$ を用いて表します。これと直線 $l$ の方程式の係数を比較することで $a, b$ を $t$ の式で表し、$t$ を消去して $a, b$ の関係式を導きます。 (2) 対数関数のグラフが上に凸であることを利用し、面積の定積分を立式します。その後、面積を $a$ または $t$ の関数として表し、微分法を用いて最小値を求めます。

解法1

(1) $f(x) = \log(x+1)$ とおく。$f'(x) = \frac{1}{x+1}$ である。 曲線 $C: y = f(x)$ 上の接点の $x$ 座標を $t \ (0 \leqq t \leqq e-1)$ とすると、接線の方程式は

$$ y - \log(t+1) = \frac{1}{t+1}(x - t) $$

$$ y = \frac{1}{t+1}x + \log(t+1) - \frac{t}{t+1} $$

直線 $l: y = ax + b$ がこの接線と一致するので、係数を比較して

$$ a = \frac{1}{t+1} \cdots \text{①} $$

$$ b = \log(t+1) - \frac{t}{t+1} \cdots \text{②} $$

$0 \leqq t \leqq e-1$ であるから、$1 \leqq t+1 \leqq e$ となり、①より

$$ \frac{1}{e} \leqq a \leqq 1 $$

また、①より $t+1 = \frac{1}{a}$ であり、これを②に代入すると

$$ b = \log\frac{1}{a} - \left( 1 - \frac{1}{t+1} \right) = -\log a - 1 + a $$

したがって、点 $(a,b)$ は $ab$ 平面上で、曲線 $b = a - \log a - 1 \ \left( \frac{1}{e} \leqq a \leqq 1 \right)$ 上にある。 ここで、$g(a) = a - \log a - 1$ とおくと、

$$ g'(a) = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} $$

$\frac{1}{e} \leqq a \leqq 1$ の範囲において $g'(a) \leqq 0$ であるから、$g(a)$ は単調に減少する。 さらに、$g''(a) = \frac{1}{a^2} > 0$ であるから、この曲線は下に凸である。 両端点は、$(1, 0)$ および $\left( \frac{1}{e}, \frac{1}{e} \right)$ となる。

(2) $f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} < 0$ より曲線 $C$ は上に凸であるため、接線 $l$ は接点以外で曲線 $C$ の上側にある。 したがって、求める面積を $S$ とすると

$$ S = \int_0^{e-1} \{ (ax+b) - \log(x+1) \} dx $$

$$ S = \int_0^{e-1} (ax+b) dx - \int_0^{e-1} \log(x+1) dx $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_0^{e-1} (ax+b) dx = \left[ \frac{1}{2}ax^2 + bx \right]_0^{e-1} = \frac{1}{2}a(e-1)^2 + b(e-1) $$

$$ \int_0^{e-1} \log(x+1) dx = \left[ (x+1)\log(x+1) - (x+1) \right]_0^{e-1} = (e\log e - e) - (1\log 1 - 1) = 1 $$

よって、面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2}a(e-1)^2 + b(e-1) - 1 $$

(1) の結果 $b = a - \log a - 1$ を代入して、$S$ を $a$ の関数 $S(a)$ とする。

$$ S(a) = \frac{1}{2}a(e-1)^2 + (a - \log a - 1)(e-1) - 1 $$

$$ S(a) = a(e-1) \left( \frac{e-1}{2} + 1 \right) - (e-1)\log a - (e-1) - 1 $$

$$ S(a) = \frac{e^2-1}{2} a - (e-1)\log a - e $$

これを $a$ について微分すると、

$$ S'(a) = \frac{e^2-1}{2} - \frac{e-1}{a} $$

$S'(a) = 0$ とすると、

$$ \frac{e-1}{a} = \frac{(e-1)(e+1)}{2} $$

$e-1 \neq 0$ より、

$$ a = \frac{2}{e+1} $$

この $a$ の値は、$\frac{1}{e} < \frac{2}{e+1} < 1$ を満たし、定義域内に存在する。 増減を調べると、$\frac{1}{e} \leqq a < \frac{2}{e+1}$ のとき $S'(a) < 0$、$\frac{2}{e+1} < a \leqq 1$ のとき $S'(a) > 0$ となるため、$S(a)$ は $a = \frac{2}{e+1}$ のとき最小となる。 このとき、$b$ の値は

$$ b = \frac{2}{e+1} - \log\left(\frac{2}{e+1}\right) - 1 = \frac{1-e}{e+1} + \log(e+1) - \log 2 $$

最小値は、

$$ S = \frac{e^2-1}{2} \cdot \frac{2}{e+1} - (e-1)\log\left(\frac{2}{e+1}\right) - e $$

$$ S = (e-1) - (e-1)\{ \log 2 - \log(e+1) \} - e $$

$$ S = (e-1)\log(e+1) - (e-1)\log 2 - 1 $$

解法2

(2) について、面積 $S$ を接点の $x$ 座標 $t$ の関数 $S(t)$ として計算する別解を示す。

$$ S(t) = \int_0^{e-1} \left\{ \frac{1}{t+1}(x-t) + \log(t+1) - \log(x+1) \right\} dx $$

$$ S(t) = \frac{1}{t+1} \left[ \frac{1}{2}(x-t)^2 \right]_0^{e-1} + (e-1)\log(t+1) - \int_0^{e-1} \log(x+1) dx $$

$$ S(t) = \frac{1}{2(t+1)} \left\{ (e-1-t)^2 - t^2 \right\} + (e-1)\log(t+1) - 1 $$

$$ S(t) = \frac{(e-1-2t)(e-1)}{2(t+1)} + (e-1)\log(t+1) - 1 $$

これを $t$ について微分する。

$$ S'(t) = \frac{e-1}{2} \cdot \frac{-2(t+1) - (e-1-2t) \cdot 1}{(t+1)^2} + \frac{e-1}{t+1} $$

$$ S'(t) = \frac{e-1}{2(t+1)^2} (-e-1) + \frac{e-1}{t+1} $$

$$ S'(t) = \frac{e-1}{2(t+1)^2} \{ -(e+1) + 2(t+1) \} = \frac{e-1}{2(t+1)^2} (2t - e + 1) $$

$S'(t) = 0$ とすると、$2t - e + 1 = 0$ より $t = \frac{e-1}{2}$ である。 $0 \leqq t \leqq e-1$ の区間において、$t < \frac{e-1}{2}$ で $S'(t) < 0$、$t > \frac{e-1}{2}$ で $S'(t) > 0$ となるため、$t = \frac{e-1}{2}$ のとき極小かつ最小となる。 このとき、

$$ a = \frac{1}{t+1} = \frac{2}{e+1} $$

$$ b = \log\left(\frac{e+1}{2}\right) - \frac{\frac{e-1}{2}}{\frac{e+1}{2}} = \log(e+1) - \log 2 + \frac{1-e}{e+1} $$

面積の最小値は $S(t)$ に代入して、

$$ S = 0 + (e-1)\log\left(\frac{e+1}{2}\right) - 1 = (e-1)\log(e+1) - (e-1)\log 2 - 1 $$

解説

接線を求めてパラメータで表し、面積の積分を立式して微分するという、微分積分の総合的な力が問われる標準問題である。(2) の面積計算では、接線の $y$ 切片 $b$ や傾き $a$ で立式したのち、どの変数を主役にするかが計算量に影響する。解法2のように、接点 $t$ の関数のまま微分すると見通しよく計算を進めることができる。

答え

(1) 点 $(a,b)$ の存在範囲は、曲線 $b = a - \log a - 1 \quad \left( \frac{1}{e} \leqq a \leqq 1 \right)$ $ab$ 平面上において、点 $(1, 0)$ と 点 $\left( \frac{1}{e}, \frac{1}{e} \right)$ を両端とする、下に凸の単調減少な曲線である。

(2) $$ a = \frac{2}{e+1}, \quad b = \frac{1-e}{e+1} + \log(e+1) - \log 2 $$ このときの面積の最小値は、 $$ (e-1)\log(e+1) - (e-1)\log 2 - 1 $$