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大阪大学 2018年理系第4問解説

方針・初手

与えられた6点を座標空間上のベクトルとして設定し、条件に従って各点の座標（位置ベクトル）を求めることから始める。正八面体は原点を中心とし、各頂点が座標軸上にあるように配置されているため、成分計算が非常に容易になる。（1）は、2つのベクトル $\vec{PQ}$ と $\vec{SR}$ が平行であることを示せばよい。（2）は、線分 LM のベクトルを求め、その長さの2乗を $s+t$ の2次関数として最小値を求める。（3）は、(2) で求めた条件 $s+t=\frac{2}{3}$ のもとで切り口の図形を特定する。平面の方程式を求め、正八面体の他の辺との交点を調べて面積を計算する。図形の対称性を利用して面積計算を工夫する。

解法1

原点を O とし、各頂点の位置ベクトルを次のように設定する。 $A(0, 0, 1)$, $B(1, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D(-1, 0, 0)$, $E(0, -1, 0)$, $F(0, 0, -1)$

Pは線分ABを $1-s : s$ に内分するので、その座標は $s(0, 0, 1) + (1-s)(1, 0, 0) = (1-s, 0, s)$ 同様に、Q, R, S の座標も内分の公式より求める。

$$ \begin{aligned} P &(1-s, 0, s) \\ Q &(0, 1-s, s) \\ R &(t-1, 0, -t) \\ S &(0, t-1, -t) \end{aligned} $$

(1)

ベクトル $\vec{PQ}$ と $\vec{SR}$ を成分で表す。

$$ \vec{PQ} = (0 - (1-s), 1-s - 0, s - s) = (s-1, 1-s, 0) $$

$$ \vec{SR} = (t-1 - 0, 0 - (t-1), -t - (-t)) = (t-1, 1-t, 0) $$

ここで、$0 < s < 1$ より $s-1 \neq 0$ であるから、

$$ \vec{SR} = \frac{t-1}{s-1} (s-1, 1-s, 0) = \frac{t-1}{s-1} \vec{PQ} $$

と表せる。これは直線 PQ と直線 SR が平行であることを示している。平行な2直線はただ1つの平面を決定するため、4点 P, Q, R, S は同一平面上にある。（証明終）

(2)

線分 PQ の中点 L、線分 RS の中点 M の座標はそれぞれ以下のようになる。

$$ L \left( \frac{1-s}{2}, \frac{1-s}{2}, s \right) $$

$$ M \left( \frac{t-1}{2}, \frac{t-1}{2}, -t \right) $$

ベクトル $\vec{LM}$ の成分は

$$ \vec{LM} = \left( \frac{t-1}{2} - \frac{1-s}{2}, \frac{t-1}{2} - \frac{1-s}{2}, -t - s \right) = \left( \frac{s+t-2}{2}, \frac{s+t-2}{2}, -(s+t) \right) $$

ここで、$u = s+t$ とおく。$0 < s < 1$, $0 < t < 1$ より $0 < u < 2$ である。 $\vec{LM}$ の長さの2乗 $|\vec{LM}|^2$ は

$$ |\vec{LM}|^2 = 2 \left( \frac{u-2}{2} \right)^2 + (-u)^2 = \frac{u^2 - 4u + 4}{2} + u^2 = \frac{3u^2 - 4u + 4}{2} $$

平方完成を行うと、

$$ |\vec{LM}|^2 = \frac{3}{2} \left( u^2 - \frac{4}{3}u \right) + 2 = \frac{3}{2} \left( u - \frac{2}{3} \right)^2 - \frac{3}{2} \times \frac{16}{9} + 2 = \frac{3}{2} \left( u - \frac{2}{3} \right)^2 + \frac{4}{3} $$

$0 < u < 2$ の範囲において、$u = \frac{2}{3}$ のとき $|\vec{LM}|^2$ は最小値 $\frac{4}{3}$ をとる。よって、線分 LM の長さの最小値 $m$ は

$$ m = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

(3)

(2) より、$LM = m$ となるのは $s+t = \frac{2}{3}$ のときである。このとき、$t = \frac{2}{3} - s$ であり、$s > 0, t > 0$ から $s$ の取りうる範囲は $0 < s < \frac{2}{3}$ となる。

平面 PQRS（以下、平面 $\alpha$ とする）の法線ベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ を求める。 $\vec{n}$ は $\vec{PQ} = (s-1, 1-s, 0)$ と直交するため、$-a(1-s) + b(1-s) = 0$ より $a = b$。また $s+t = \frac{2}{3}$ のとき、$\vec{LM} = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right)$ であり、これとも直交するため $-\frac{2}{3}a - \frac{2}{3}b - \frac{2}{3}c = 0$ より $c = -2a$。よって $\vec{n} = (1, 1, -2)$ とできる。点 P $(1-s, 0, s)$ を通ることから、平面 $\alpha$ の方程式は

$$ x + y - 2z = (1-s) + 0 - 2s = 1 - 3s $$

切り口が $xy$ 平面（$z=0$）と交わる交線は $x + y = 1 - 3s$ となる。 $k = 1 - 3s$ とおくと、$0 < s < \frac{2}{3}$ より $-1 < k < 1$ である。正八面体の $xy$ 平面上の断面は、4点 $B(1,0,0), C(0,1,0), D(-1,0,0), E(0,-1,0)$ を頂点とする正方形である。直線 $x + y = k$ は、この正方形の辺 CD ($-x+y=1, x \le 0, y \ge 0$) および辺 EB ($x-y=1, x \ge 0, y \le 0$) と交わる。それぞれの連立方程式を解くと、交点 V（辺 CD 上）および W（辺 EB 上）の座標は以下のようになる。

$$ V \left( \frac{k-1}{2}, \frac{k+1}{2}, 0 \right), \quad W \left( \frac{k+1}{2}, \frac{k-1}{2}, 0 \right) $$

したがって、平面 $\alpha$ による切り口は六角形 PQVRSW となる。平面 $\alpha$ は平面 $y=x$ に関して対称であり、線分 VW の中点 $N \left( \frac{k}{2}, \frac{k}{2}, 0 \right)$ は直線 LM 上に存在する。六角形の面積 $X$ は、直線 LM で上下に分けられる2つの等脚台形 PQVW と WVRS の面積の和である。

台形 PQVW において、平行な2辺 PQ, VW の長さは

$$ PQ = \sqrt{(0 - (1-s))^2 + (1-s - 0)^2} = \sqrt{2}(1-s) $$

$$ VW = \sqrt{\left(\frac{k+1}{2} - \frac{k-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{k-1}{2} - \frac{k+1}{2}\right)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$

高さは線分 LN の長さであり、$\vec{LN} = \vec{N} - \vec{L}$ を計算すると

$$ \vec{LN} = \left( \frac{k}{2} - \frac{1-s}{2}, \frac{k}{2} - \frac{1-s}{2}, 0 - s \right) $$

$k = 1-3s$ を代入すると、$\frac{1-3s - (1-s)}{2} = -s$ となるため $\vec{LN} = (-s, -s, -s)$。よって $LN = \sqrt{3}s$ である。台形 PQVW の面積 $S_1$ は

$$ S_1 = \frac{1}{2} (PQ + VW) \times LN = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2}(1-s) + \sqrt{2} \right) \times \sqrt{3}s = \frac{\sqrt{6}}{2} s(2-s) $$

同様に、台形 WVRS についても $SR = \sqrt{2}(1-t)$、$VW = \sqrt{2}$、高さ $NM = \sqrt{3}t$ となるため、面積 $S_2$ は

$$ S_2 = \frac{1}{2} (SR + VW) \times NM = \frac{\sqrt{6}}{2} t(2-t) $$

六角形の面積 $X$ は

$$ X = S_1 + S_2 = \frac{\sqrt{6}}{2} \left\{ s(2-s) + t(2-t) \right\} = \frac{\sqrt{6}}{2} \left\{ 2(s+t) - (s^2+t^2) \right\} $$

$s+t = \frac{2}{3}$ であるから、

$$ s^2 + t^2 = s^2 + \left(\frac{2}{3}-s\right)^2 = 2s^2 - \frac{4}{3}s + \frac{4}{9} = 2\left(s-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{9} $$

これより、$s^2+t^2$ は $s = \frac{1}{3}$ のとき最小値 $\frac{2}{9}$ をとる。（このとき $t = \frac{1}{3}$ であり、$0 < s < \frac{2}{3}$ の条件を満たす） $X$ は $s^2+t^2$ が最小のとき最大となるので、最大値は

$$ X = \frac{\sqrt{6}}{2} \left( 2 \times \frac{2}{3} - \frac{2}{9} \right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \times \frac{10}{9} = \frac{5\sqrt{6}}{9} $$

解説

正八面体と平面の交わりに関する標準的な空間ベクトルの問題である。座標を設定して機械的な成分計算に落とし込む方針が最も見通しがよい。 (3)における切り口の形状把握が最大の難所である。なんとなく四角形だと決めつけず、平面の方程式を求めて $z=0$ 平面にある他の辺との交点を特定するアプローチが確実である。面積計算では、図形が平面 $y=x$ に関して対称であることを利用し、六角形を2つの台形に分割することで計算量を大幅に減らすことができる。