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名古屋大学 1967年文系第5問解説

方針・初手

平面上の3つのベクトルが与えられたとき、それらが必ず線形従属（一次従属）になることを示す問題である。 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が「一次独立であるか、一次従属であるか」で場合分けを行うと、ベクトルの基本性質のみで簡潔に証明することができる。また、成分を用いて連立方程式の解の存在を示す方法もある。

解法1

2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が一次独立であるか、一次従属であるかで場合分けをする。

(i) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が一次独立であるとき $\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ かつ $\vec{a} \nparallel \vec{b}$ である。このとき、平面上の任意のベクトルは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて一意に表すことができる。したがって、実数 $s, t$ を用いて

$$ \vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b} $$

と表せる。これを移項すると

$$ s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c} = \vec{0} $$

となる。ここで、$l=s, m=t, n=-1$ とおくと

$$ l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c} = \vec{0} $$

を満たす。$n = -1 \neq 0$ であるから、$(l, m, n) \neq (0, 0, 0)$ である。

(ii) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が一次従属であるときある実数 $p, q$ （ただし $p, q$ の少なくとも一方は $0$ ではない）が存在して

$$ p\vec{a} + q\vec{b} = \vec{0} $$

が成り立つ。この両辺に $0\vec{c}$ を加えると

$$ p\vec{a} + q\vec{b} + 0\vec{c} = \vec{0} $$

となる。ここで、$l=p, m=q, n=0$ とおくと

$$ l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c} = \vec{0} $$

を満たす。$p, q$ の少なくとも一方は $0$ ではないから、$(l, m, n) \neq (0, 0, 0)$ である。

(i), (ii) のいずれの場合においても、$l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c} = \vec{0}$ を満たす $l=m=n=0$ 以外の実数 $l, m, n$ が存在することが示された。

解法2

成分を用いて連立方程式として考える。 $l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c} = \vec{0}$ より

$$ l \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

すなわち、次の連立方程式を満たす $(l, m, n) \neq (0, 0, 0)$ が存在することを示せばよい。

$$ \begin{cases} a_1 l + b_1 m + c_1 n = 0 \quad \cdots \text{①} \\ a_2 l + b_2 m + c_2 n = 0 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

$\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$ とおく。

(i) $\Delta \neq 0$ のとき ① $\times b_2$ - ② $\times b_1$ を計算すると

$$ (a_1 b_2 - a_2 b_1)l + (c_1 b_2 - c_2 b_1)n = 0 $$

$\Delta \neq 0$ より、$l$ は $n$ を用いて次のように表せる。

$$ l = \frac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{\Delta} n $$

同様に、② $\times a_1$ - ① $\times a_2$ を計算すると

$$ (a_1 b_2 - a_2 b_1)m + (a_1 c_2 - a_2 c_1)n = 0 $$

$$ m = \frac{a_2 c_1 - a_1 c_2}{\Delta} n $$

ここで、$n = \Delta$ とおくと（$\Delta \neq 0$ より $n \neq 0$）

$$ l = b_1 c_2 - b_2 c_1, \quad m = a_2 c_1 - a_1 c_2, \quad n = \Delta $$

となり、これらは題意を満たす $l=m=n=0$ 以外の解である。

(ii) $\Delta = 0$ のとき $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$ が成り立つ。 (ア) $a_1 = a_2 = 0$ のとき $\vec{a} = \vec{0}$ であるから、$1\vec{a} + 0\vec{b} + 0\vec{c} = \vec{0}$ となり、$l=1, m=0, n=0$ は条件を満たす解である。 (イ) $a_1 \neq 0$ のとき $b_2 = \frac{a_2 b_1}{a_1}$ となるため、$\vec{b}$ は次のように表せる。

$$ \vec{b} = \left( b_1, \frac{a_2 b_1}{a_1} \right) = \frac{b_1}{a_1} (a_1, a_2) = \frac{b_1}{a_1} \vec{a} $$

よって $\frac{b_1}{a_1} \vec{a} - \vec{b} + 0\vec{c} = \vec{0}$ となるから、$l=\frac{b_1}{a_1}, m=-1, n=0$ は条件を満たす解である。（$a_2 \neq 0$ のときも同様にして示せる）

以上から、いずれの場合も $l=m=n=0$ 以外の解が存在する。

解説

2次元平面において、3つ以上のベクトルは必ず「一次従属（線形従属）」になるという線形代数学の基本的な定理を証明する問題である。解法1は、ベクトルの一次独立性の定義をそのまま用いた幾何学的・抽象的なアプローチである。高校数学のベクトル分野の基本を理解していれば、計算をほとんどせずに簡潔に記述できる。解法2は、未知数が3つで方程式が2つしかない同次連立一次方程式には必ず自明解 $(0, 0, 0)$ 以外の解（非自明解）が存在するという性質を、成分計算で示したものである。