名古屋大学 1984年 文系 第1問 解説

方針・初手

行列 $A$ の成分をそのまま用いて $A^2$ を計算するか、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^2$ の次数を下げるかの2つのアプローチが考えられる。 いずれの場合も、条件(ii)である「任意のベクトル $\vec{p}$ に対して $\vec{p} \cdot A^2\vec{p} = 0$」を $\vec{p}$ の成分 $x, y$ についての恒等式に帰着させ、係数比較を行う。

解法1

行列 $A^2$ の成分を計算すると、

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & bc+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2 \end{pmatrix} $$

条件(i) より $a+d=1$ であるから、これを代入して

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a^2+bc & b \\ c & bc+d^2 \end{pmatrix} $$

条件(ii) より、任意のベクトル $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して $\vec{p}$ と $A^2\vec{p}$ が直交するので、内積 $\vec{p} \cdot A^2\vec{p} = 0$ が成り立つ。

$$ A^2\vec{p} = \begin{pmatrix} a^2+bc & b \\ c & bc+d^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a^2+bc)x + by \\ cx + (bc+d^2)y \end{pmatrix} $$

$$ \vec{p} \cdot A^2\vec{p} = x \left\{ (a^2+bc)x + by \right\} + y \left\{ cx + (bc+d^2)y \right\} = (a^2+bc)x^2 + (b+c)xy + (bc+d^2)y^2 $$

したがって、任意の $x, y$ に対して次の等式が成り立つ。

$$ (a^2+bc)x^2 + (b+c)xy + (bc+d^2)y^2 = 0 $$

これが $x, y$ についての恒等式となるための必要十分条件は、すべての係数が $0$ となることである。

$$ \begin{cases} a^2+bc = 0 \quad \cdots ① \\ b+c = 0 \quad \cdots ② \\ bc+d^2 = 0 \quad \cdots ③ \end{cases} $$

① から ③ の辺々を引くと、

$$ a^2 - d^2 = 0 $$

$$ (a+d)(a-d) = 0 $$

条件(i) より $a+d=1$ であるから、両辺を $a+d$ で割ることができ、$a-d = 0$ すなわち $a = d$ を得る。

$a+d = 1$ と連立して解くと、

$$ a = \frac{1}{2}, \quad d = \frac{1}{2} $$

② より $c = -b$ であり、これと $a = \frac{1}{2}$ を ① に代入すると、

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + b(-b) = 0 $$

$$ \frac{1}{4} - b^2 = 0 $$

$$ b^2 = \frac{1}{4} $$

$$ b = \pm \frac{1}{2} $$

$c = -b$ より、 $b = \frac{1}{2}$ のとき $c = -\frac{1}{2}$ $b = -\frac{1}{2}$ のとき $c = \frac{1}{2}$

以上より、求める行列 $A$ はすべて定まった。

解法2

ケーリー・ハミルトンの定理より、

$$ A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O $$

条件(i) より $a+d=1$ であるから、

$$ A^2 - A + (ad-bc)E = O $$

$$ A^2 = A - (ad-bc)E $$

条件(ii) の $\vec{p} \cdot A^2\vec{p} = 0$ に代入すると、

$$ \vec{p} \cdot \left\{ A\vec{p} - (ad-bc)E\vec{p} \right\} = 0 $$

$$ \vec{p} \cdot A\vec{p} - (ad-bc)\vec{p} \cdot \vec{p} = 0 $$

ここで、

$$ A\vec{p} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix} $$

$$ \vec{p} \cdot A\vec{p} = x(ax+by) + y(cx+dy) = ax^2 + (b+c)xy + dy^2 $$

また、$\vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2 = x^2+y^2$ であるから、条件式は次のように書ける。

$$ ax^2 + (b+c)xy + dy^2 - (ad-bc)(x^2+y^2) = 0 $$

$$ (a - ad + bc)x^2 + (b+c)xy + (d - ad + bc)y^2 = 0 $$

これが任意の $x, y$ に対して成り立つための必要十分条件は、すべての係数が $0$ となることである。

$$ \begin{cases} a - ad + bc = 0 \quad \cdots ① \\ b+c = 0 \quad \cdots ② \\ d - ad + bc = 0 \quad \cdots ③ \end{cases} $$

① から ③ の辺々を引くと、

$$ a - d = 0 $$

$$ a = d $$

条件(i) の $a+d=1$ より、

$$ a = \frac{1}{2}, \quad d = \frac{1}{2} $$

② より $c = -b$ であり、これらを ① に代入すると、

$$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - b^2 = 0 $$

$$ b^2 = \frac{1}{4} $$

$$ b = \pm \frac{1}{2} $$

これ以降は解法1と同様にして $b, c$ の値の組を求める。

解説

2次形式（2次同次式） $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ が任意の実数 $x, y$ に対して常に $0$ になるための条件が $A=B=C=0$ であることを用いる典型的な問題である。 ケーリー・ハミルトンの定理を用いることで、行列の積を計算する手間を省き、次数を下げてから処理するという定石が有効に機能する。

答え

$$ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$