名古屋大学 1989年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) は、行列 $A$ が $A^2=A$ を満たすという条件から成分を決定する問題である。各成分の連立方程式を立てて解く方法と、ケーリー・ハミルトンの定理を利用して行列の式として処理する方法がある。零行列および単位行列を除くという条件にも注意する。

(2) は、(1) で求めた行列 $A$ による 1 次変換の像を調べる問題である。行列式が $0$ になることを確認し、像の点 $(x', y')$ が $x'$ と $y'$ に関するある 1 次方程式を満たすこと、あるいは像のベクトルが特定の方向ベクトルの実数倍で表せることを示せばよい。

解法1

(1)

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ に対して、ケーリー・ハミルトンの定理より以下の式が成り立つ。

$$ A^2 - (a+c)A + (ac-b^2)E = O $$

ただし、$E$ は単位行列、$O$ は零行列である。条件 $A^2 = A$ を用いて $A^2$ を消去すると、次のようになる。

$$ (1-a-c)A + (ac-b^2)E = O $$

ここで、$1-a-c$ の値によって場合分けを行う。

(i) $1-a-c \neq 0$ のとき

式を変形すると、次のように書ける。

$$ A = \frac{b^2-ac}{1-a-c} E $$

これは $A$ がある実数 $k$ を用いて $A = kE$ と表されることを意味する。$A^2 = A$ に代入すると、

$$ k^2 E = kE $$

$$ k(k-1)E = O $$

よって $k=0$ または $k=1$ となるが、$k=0$ のときは $A = O$、$k=1$ のときは $A = E$ となり、いずれも問題の条件「零行列でも単位行列でもない」に反する。したがって、この場合は不適である。

(ii) $1-a-c = 0$ のとき

$a+c = 1$ すなわち $c = 1-a$ である。これを前述の式に代入すると、

$$ 0 \cdot A + (ac-b^2)E = O $$

$$ (ac-b^2)E = O $$

これより $ac-b^2 = 0$ となる。$c = 1-a$ を代入すると、

$$ a(1-a) - b^2 = 0 $$

$$ a^2 + b^2 = a $$

このとき、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}$ と表される。

ここで、この $A$ が零行列または単位行列になるかを確認する。 $A=O$ と仮定すると、$a=b=0$ かつ $1-a=0$ となり矛盾する。 $A=E$ と仮定すると、$a=1, b=0$ かつ $1-a=1$ となり矛盾する。 よって、条件 $a^2+b^2=a$ および $c=1-a$ を満たすとき、$A$ は常に零行列でも単位行列でもない。

以上より、求める行列 $A$ は $\begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}$（ただし $a^2+b^2=a$）である。

(2)

(1) より、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}$ （ただし $a^2+b^2=a$）である。

この $A$ によって平面上の任意の点 $(x, y)$ が $(x', y')$ にうつされるとすると、

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b \\ 1-a \end{pmatrix} $$

ここで、$b$ の値によって場合分けを行う。

(ア) $b \neq 0$ のとき

条件 $a^2+b^2=a$ より $b^2 = a(1-a)$ であるから、次のように変形できる。

$$ \begin{pmatrix} b \\ 1-a \end{pmatrix} = \frac{1-a}{b} \begin{pmatrix} \frac{b^2}{1-a} \\ b \end{pmatrix} = \frac{1-a}{b} \begin{pmatrix} \frac{a(1-a)}{1-a} \\ b \end{pmatrix} = \frac{1-a}{b} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$

これを像の式に代入すると、

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \frac{1-a}{b} y \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \left( x + \frac{1-a}{b} y \right) \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$

$b \neq 0$ より $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。$x + \frac{1-a}{b} y$ は実数全体をとりうるため、点 $(x', y')$ は原点を通り、方向ベクトルが $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ である直線上（直線 $bx - ay = 0$ 上）にうつされる。

(イ) $b = 0$ のとき

条件 $a^2+b^2=a$ に $b=0$ を代入すると、$a^2=a$ より $a=0$ または $a=1$ となる。

$a=0$ のとき、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となり、 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}$ よって、すべての点は $y$ 軸（原点を通る直線 $x=0$）上にうつされる。

$a=1$ のとき、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となり、 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ よって、すべての点は $x$ 軸（原点を通る直線 $y=0$）上にうつされる。

以上 (ア), (イ) より、平面上のすべての点は、原点を通る一定の直線上にうつされることが証明された。

解法2

(1)

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ に対し、$A^2 = A$ を成分で計算する。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+b^2 & ab+bc \\ ab+bc & b^2+c^2 \end{pmatrix} $$

これが $A$ と等しいので、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} a^2+b^2 = a & \cdots ① \\ b(a+c) = b & \cdots ② \\ b^2+c^2 = c & \cdots ③ \end{cases} $$

②より、$b=0$ または $a+c=1$ である。

(i) $b=0$ のとき

①より $a^2 = a$ となり、$a = 0, 1$ を得る。 ③より $c^2 = c$ となり、$c = 0, 1$ を得る。 よって、考えられる行列 $A$ は次の4つである。

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

このうち、零行列と単位行列を除外すると、次の2つが残る。

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

これらは $a+c=1$ かつ $a^2+b^2=a$ を満たしている。

(ii) $b \neq 0$ のとき

②より $a+c = 1$、すなわち $c = 1-a$ である。これを③に代入すると、

$$ b^2 + (1-a)^2 = 1-a $$

$$ b^2 + 1 - 2a + a^2 = 1 - a $$

$$ a^2 + b^2 = a $$

となり、これは①と同じ式である。 よって、$c = 1-a$ かつ $a^2+b^2=a$ が成り立てば、①、②、③すべてを満たす。 このとき $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}$ となり、$b \neq 0$ であるため、零行列や単位行列になることはない。

(i), (ii) をまとめると、(i) で求めた2つの行列も $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}$ （$a^2+b^2=a$）という形に含まれることがわかる。

したがって、求める行列は $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}$ （ただし $a^2+b^2=a$）である。

解説

2次正方行列 $A$ が $A^2=A$ を満たすとき、この $A$ を「射影行列」と呼ぶ。本問は、対称な射影行列の形とその幾何学的性質（ある直線上への正射影）を調べる典型問題である。

(1) は直接成分を比較して連立方程式を解くことも容易だが、解法1のようにケーリー・ハミルトンの定理を用いると見通しよく処理できる。$A^2 = pA + qE$ のような関係式を持つ行列の決定には、ケーリー・ハミルトンの定理と恒等式的に比較する手法が強力である。

(2) は変換の像の形状を調べる問題である。$\det A = a(1-a)-b^2 = a-(a^2+b^2) = 0$ となることから、この 1 次変換が平面全体を直線または 1 点に潰してしまう変換（特異な変換）であることが分かる。像が直線になることを示すには、像のベクトル $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ が常に一定の方向ベクトルの実数倍で表されることを示せばよい。その際、列ベクトルを並べた式表現が有効である。

答え

(1) $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}$ （ただし、$a, b$ は $a^2+b^2=a$ を満たす実数） あるいは $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ （ただし、$a+c=1$ かつ $a^2+b^2=a$ を満たす実数）

(2) 解説および解法に記載の通り、像の任意の点の位置ベクトルが方向ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ （$b \neq 0$ のとき）などの実数倍で表されることから証明される。