名古屋大学 1999年 文系 第4問 解説

方針・初手

合成関数 $f(f(z))$ を計算し、(1) の方程式を解く。(2) では (1) で求めた $f(f(z))$ の式を利用し、複素数平面における正三角形の成立条件を適用する。

解法1

(1)

関数 $f(z) = \frac{z-1}{z+1}$ について、$f(f(z))$ が定義されるための条件を考える。 問題の条件 $z \neq -1$ に加え、$f(z)$ を $f$ に代入する際に分母が $0$ にならないこと、すなわち $f(z) \neq -1$ が必要である。

$$\frac{z-1}{z+1} = -1$$

とすると、$z-1 = -z-1$ より $z = 0$ となる。よって、$z \neq 0, -1$ のもとで $f(f(z))$ を計算する。

$$\begin{aligned} f(f(z)) &= \frac{f(z)-1}{f(z)+1} \\ &= \frac{\frac{z-1}{z+1}-1}{\frac{z-1}{z+1}+1} \\ &= \frac{(z-1)-(z+1)}{(z-1)+(z+1)} \\ &= \frac{-2}{2z} \\ &= -\frac{1}{z} \end{aligned}$$

したがって、方程式 $f(f(z)) = z+1$ は次のように変形できる。

$$-\frac{1}{z} = z+1$$

両辺に $z$ をかけて整理すると

$$z^2 + z + 1 = 0$$

これを解いて

$$z = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$

これらは条件 $z \neq 0, -1$ を満たすため、求める解である。

(2)

(1) より、$\alpha \neq 0, -1$ のとき $f(f(\alpha)) = -\frac{1}{\alpha}$ である。 3点 $0, \alpha, -\frac{1}{\alpha}$ が正三角形をなすための条件は、3辺の長さが等しいことである。

$$|\alpha - 0| = \left|-\frac{1}{\alpha} - 0\right| = \left|\alpha - \left(-\frac{1}{\alpha}\right)\right|$$

すなわち

$$|\alpha| = \frac{1}{|\alpha|} = \left|\alpha + \frac{1}{\alpha}\right|$$

第1の等号 $|\alpha| = \frac{1}{|\alpha|}$ より、

$$|\alpha|^2 = 1$$

$|\alpha| > 0$ であるから、$|\alpha| = 1$ を得る。 このとき、$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ より、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ が成り立つ。

次に、第2の等号 $\frac{1}{|\alpha|} = \left|\alpha + \frac{1}{\alpha}\right|$ に $|\alpha| = 1$ を代入すると、

$$\left|\alpha + \frac{1}{\alpha}\right| = 1$$

両辺を2乗して

$$\left|\alpha + \frac{1}{\alpha}\right|^2 = 1$$

$$\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)\overline{\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)} = 1$$

$$\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)\left(\overline{\alpha} + \frac{1}{\overline{\alpha}}\right) = 1$$

$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ より $\frac{1}{\overline{\alpha}} = \alpha$ であるから、これを代入して

$$\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)\left(\frac{1}{\alpha} + \alpha\right) = 1$$

$$\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)^2 = 1$$

$$\alpha + \frac{1}{\alpha} = \pm 1$$

両辺に $\alpha$ をかけて整理すると

$$\alpha^2 \mp \alpha + 1 = 0$$

これを解くと

$$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}, \quad \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$

これらの $\alpha$ は $\alpha \neq 0, -1$ を満たし、3点は互いに異なるため条件を満たす。

解法2

(2) の別解

(1) より、3点 $0, \alpha, -\frac{1}{\alpha}$ が正三角形をなす条件を求める。 一般に、複素数平面上の3点 $z_1, z_2, z_3$ が正三角形をなすための必要十分条件は

$$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 - z_1 z_2 - z_2 z_3 - z_3 z_1 = 0$$

が成り立つことである。ここに $z_1 = 0, z_2 = \alpha, z_3 = -\frac{1}{\alpha}$ を代入すると、

$$0^2 + \alpha^2 + \left(-\frac{1}{\alpha}\right)^2 - 0 \cdot \alpha - \alpha \left(-\frac{1}{\alpha}\right) - \left(-\frac{1}{\alpha}\right) \cdot 0 = 0$$

$$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} + 1 = 0$$

両辺に $\alpha^2$ をかけて整理すると

$$\alpha^4 + \alpha^2 + 1 = 0$$

左辺を因数分解して

$$(\alpha^2 - \alpha + 1)(\alpha^2 + \alpha + 1) = 0$$

よって

$$\alpha^2 - \alpha + 1 = 0 \quad \text{または} \quad \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$$

これを解いて

$$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}, \quad \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$

解説

(1) において、$f(f(z))$ を計算する際、定義域の確認（分母が $0$ になる $z=0$ の除外）が重要である。結果的に方程式の解に影響はしないが、論理の正確性のために記述しておくべきである。 (2) における正三角形の条件処理は、辺の長さを用いる方法（解法1）、対称な条件式を用いる方法（解法2）のほか、複素数の回転（$\alpha$ を原点中心に $\pm \frac{\pi}{3}$ 回転した点が $-\frac{1}{\alpha}$ になる）を用いて立式することもできる。どの解法を選んでも計算量は少なく、スムーズに完答したい問題である。

答え

(1)

$$z = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$

(2)

$$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}, \quad \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$