名古屋大学 2000年 文系 第3問 解説

画像の数学の問題（空間座標における三角形の面積）を解いていきますね。

与えられた点： $P(3, 1, 4), A(1, 2, 3), B(1, 1, 2), C(2, 1, 1)$

(1) $\triangle ABC$ の面積を求めよ

まずは、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求めます。

$\vec{AB} = (1-1, 1-2, 2-3) = (0, -1, -1)$ $\vec{AC} = (2-1, 1-2, 1-3) = (1, -1, -2)$

三角形の面積 $S$ は、公式 $S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$ を使って計算できます。

• $|\vec{AB}|^2 = 0^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 2$
• $|\vec{AC}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$
• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(1) + (-1)(-1) + (-1)(-2) = 0 + 1 + 2 = 3$

これらを公式に代入すると： $S = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6 - 3^2} = \frac{1}{2} \sqrt{12 - 9} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

答え： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\triangle A'B'C'$ の面積を求めよ

点 $A', B', C'$ は、それぞれ直線 $PA, PB, PC$ と $xy$ 平面（$z=0$）との交点です。

点の座標を求める

直線上の点 $X$ は、実数 $k$ を用いて $\vec{PX} = k \vec{PQ}$ （$Q$ は $A, B, C$ のいずれか）と表せます。$xy$ 平面との交点なので、$z$ 座標が $0$ になる瞬間を探せばOKです。

• 点 $A'$ の座標 直線 $PA$ 上の点は $(3, 1, 4) + t(1-3, 2-1, 3-4) = (3-2t, 1+t, 4-t)$ $z = 4-t = 0$ より $t=4$。 よって $A' = (3-8, 1+4, 0) = (-5, 5, 0)$

• 点 $B'$ の座標 直線 $PB$ 上の点は $(3, 1, 4) + t(1-3, 1-1, 2-4) = (3-2t, 1, 4-2t)$ $z = 4-2t = 0$ より $t=2$。 よって $B' = (3-4, 1, 0) = (-1, 1, 0)$

• 点 $C'$ の座標 直線 $PC$ 上の点は $(3, 1, 4) + t(2-3, 1-1, 1-4) = (3-t, 1, 4-3t)$ $z = 4-3t = 0$ より $t=4/3$。 よって $C' = (3-4/3, 1, 0) = (5/3, 1, 0)$

面積の計算

$A', B', C'$ はすべて $xy$ 平面上の点なので、2次元の座標 $(-5, 5), (-1, 1), (5/3, 1)$ として面積を計算できます。

$\vec{B'A'} = (-5 - (-1), 5 - 1) = (-4, 4)$ $\vec{B'C'} = (5/3 - (-1), 1 - 1) = (8/3, 0)$

2次元の面積公式 $S' = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ を適用すると： $S' = \frac{1}{2} |(-4)(0) - (4)(8/3)|$ $S' = \frac{1}{2} | -32/3 | = \frac{16}{3}$

答え： $\frac{16}{3}$