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名古屋大学 2006年文系第1問解説

方針・初手

領域 $D, E, F$ が $xy$ 平面上のどのような部分を指すのか、グラフの上下関係から正確に把握する。放物線 $y = x^2$、放物線 $y = -x^2+2x$、直線 $y = kx$ の3つのグラフの交点の $x$ 座標を求め、$0 \leqq k \leqq 1$ の条件を用いて交点の大小関係を確定させる。領域を $x$ の区間ごとに分割し、面積分を立式する。

解法1

(1)

3つのグラフを $C_1: y = x^2$、 $C_2: y = -x^2+2x$、 $l: y = kx$ とする。これらの交点の $x$ 座標を求める。

$C_1$ と $C_2$ の交点： $$ x^2 = -x^2+2x \iff 2x(x-1) = 0 \iff x = 0, 1 $$

$C_1$ と $l$ の交点： $$ x^2 = kx \iff x(x-k) = 0 \iff x = 0, k $$

$C_2$ と $l$ の交点： $$ -x^2+2x = kx \iff x(x-(2-k)) = 0 \iff x = 0, 2-k $$

$0 \leqq k \leqq 1$ であるから、各交点の $x$ 座標の大小関係は以下のようになる。 $$ 0 \leqq k \leqq 1 \leqq 2-k $$

与えられた領域の条件を確認する。領域 $D$ は $y \geqq x^2$ かつ $y \leqq kx$ であり、$C_1$ の上側かつ $l$ の下側である。これは $0 \leqq x \leqq k$ の範囲に存在する。領域 $E$ は $y \leqq x^2$ かつ $y \geqq kx$。領域 $F$ は $y \leqq -x^2+2x$ かつ $y \geqq kx$。したがって、$E \cap F$ は $y \geqq kx$ かつ $y \leqq \min(x^2, -x^2+2x)$ を満たす領域である。

$x \geqq 0$ における $C_1$ と $C_2$ の上下関係は、$0 \leqq x \leqq 1$ で $x^2 \leqq -x^2+2x$、$x \geqq 1$ で $x^2 \geqq -x^2+2x$ となる。これを踏まえ、$x$ の区間ごとに $E \cap F$ の形を調べる。

(i) $0 \leqq x \leqq k$ のとき $x^2 \leqq kx$ であるため、$y \leqq x^2$ かつ $y \geqq kx$ を満たす部分は面積をもたない（境界のみ）。

(ii) $k \leqq x \leqq 1$ のとき $C_1$ と $C_2$ の関係は $x^2 \leqq -x^2+2x$ であり、$l$ と $C_1$ の関係は $kx \leqq x^2$ である。よって $kx \leqq y \leqq x^2$ が $E \cap F$ となる。

(iii) $1 \leqq x \leqq 2-k$ のとき $C_1$ と $C_2$ の関係は $-x^2+2x \leqq x^2$ であり、$l$ と $C_2$ の関係は $kx \leqq -x^2+2x$ である。よって $kx \leqq y \leqq -x^2+2x$ が $E \cap F$ となる。

(iv) $x \geqq 2-k$ のとき $-x^2+2x \leqq kx$ となるため、$y \leqq -x^2+2x$ かつ $y \geqq kx$ を満たす部分は存在しない。

以上より、領域 $D \cup (E \cap F)$ の面積 $m(k)$ は、区間ごとの定積分の和として次のように表される。 $$ m(k) = \int_{0}^{k} (kx - x^2) \, dx + \int_{k}^{1} (x^2 - kx) \, dx + \int_{1}^{2-k} (-x^2 + 2x - kx) \, dx $$

それぞれの定積分を計算する。第1項： $$ \int_{0}^{k} (kx - x^2) \, dx = \left[ \frac{k}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{k} = \frac{1}{6}k^3 $$

第2項： $$ \int_{k}^{1} (x^2 - kx) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 \right]_{k}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{k}{2} + \frac{1}{6}k^3 $$

第3項： $$ \begin{aligned} \int_{1}^{2-k} (-x^2 + (2-k)x) \, dx &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{2-k}{2}x^2 \right]_{1}^{2-k} \\ &= \frac{1}{6}(2-k)^3 - \left( -\frac{1}{3} + \frac{2-k}{2} \right) \\ &= \frac{1}{6}(8 - 12k + 6k^2 - k^3) - \left( \frac{2}{3} - \frac{k}{2} \right) \\ &= -\frac{1}{6}k^3 + k^2 - \frac{3}{2}k + \frac{2}{3} \end{aligned} $$

これらをすべて足し合わせる。 $$ \begin{aligned} m(k) &= \frac{1}{6}k^3 + \left( \frac{1}{3} - \frac{k}{2} + \frac{1}{6}k^3 \right) + \left( -\frac{1}{6}k^3 + k^2 - \frac{3}{2}k + \frac{2}{3} \right) \\ &= \frac{1}{6}k^3 + k^2 - 2k + 1 \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果より $$ m(k) = \frac{1}{6}k^3 + k^2 - 2k + 1 $$

$k$ について微分すると $$ m'(k) = \frac{1}{2}k^2 + 2k - 2 $$

$m'(k) = 0$ とすると $$ k^2 + 4k - 4 = 0 \iff k = -2 \pm 2\sqrt{2} $$

$0 \leqq k \leqq 1$ における増減を調べる。$2\sqrt{2} = \sqrt{8} \approx 2.8$ であるから、$k = 2\sqrt{2} - 2$ は区間 $0 \leqq k \leqq 1$ に含まれる。 $k = 2\sqrt{2} - 2$ の前後で $m'(k)$ の符号は負から正に変わるため、ここで $m(k)$ は極小かつ最小となる。

最小値を求めるため、$k^2 + 4k - 4 = 0$ を用いて $m(k)$ の次数を下げる。 $$ \begin{aligned} m(k) &= \frac{1}{6}k(k^2 + 4k - 4) - \frac{2}{3}k^2 + \frac{2}{3}k + k^2 - 2k + 1 \\ &= \frac{1}{3}k^2 - \frac{4}{3}k + 1 \\ &= \frac{1}{3}(-4k + 4) - \frac{4}{3}k + 1 \\ &= -\frac{8}{3}k + \frac{7}{3} \end{aligned} $$

これに $k = 2\sqrt{2} - 2$ を代入して最小値を得る。 $$ \begin{aligned} m(2\sqrt{2} - 2) &= -\frac{8}{3}(2\sqrt{2} - 2) + \frac{7}{3} \\ &= \frac{-16\sqrt{2} + 16 + 7}{3} \\ &= \frac{23 - 16\sqrt{2}}{3} \end{aligned} $$

解説

複数の不等式で定義される領域の面積を求める、典型的な微積分の問題である。 (1) では、与えられた $k$ の条件（$0 \leqq k \leqq 1$）から、交点の $x$ 座標の大小関係が $k \leqq 1 \leqq 2-k$ と一意に定まることに気づけるかが最大の鍵となる。領域の上下関係が途中で入れ替わるため、区間ごとに丁寧に積分を立式する必要がある。 (2) は、(1) で求めた3次関数の最小値を求める問題である。導関数から得られる $k$ の値が無理数になるため、そのまま3次式に代入すると計算が煩雑になりミスを誘発しやすい。方程式 $k^2 + 4k - 4 = 0$ を利用した「次数下げ」を行うことで、計算量とミスを大幅に減らすことができる。