名古屋大学 2015年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) は $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ の展開公式に従って計算し、根号の中を整理する。 (2) は $\alpha$ を満たす方程式を作るため、無理数部分を孤立させて両辺を2乗する操作を繰り返す。(1) の結果をうまく利用して計算の負担を減らす。 (3) は (2) で構成した方程式 $f(x)=0$ を解く。構成の過程で用いた平方完成（あるいは2乗引く2乗の形）の逆をたどることで、容易に2次方程式2つに帰着できる。

解法1

(1)

与えられた式を展開公式を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)^2 &= (9+2\sqrt{17}) + 2\sqrt{(9+2\sqrt{17})(9-2\sqrt{17})} + (9-2\sqrt{17}) \\ &= 18 + 2\sqrt{9^2 - (2\sqrt{17})^2} \\ &= 18 + 2\sqrt{81 - 68} \\ &= 18 + 2\sqrt{13} \end{aligned} $$

(2)

与えられた $\alpha$ の式を変形し、(1) の結果を利用するために $\sqrt{13}$ を移項して両辺を2乗する。

$$ \alpha - \sqrt{13} = \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

両辺を2乗すると、(1) の結果より以下のようになる。

$$ (\alpha - \sqrt{13})^2 = 18 + 2\sqrt{13} $$

左辺を展開して整理する。

$$ \alpha^2 - 2\sqrt{13}\alpha + 13 = 18 + 2\sqrt{13} $$

$$ \alpha^2 - 5 = 2\sqrt{13}(\alpha + 1) $$

再び無理数部分を消去するため、両辺を2乗する。

$$ (\alpha^2 - 5)^2 = 52(\alpha + 1)^2 $$

$$ \alpha^4 - 10\alpha^2 + 25 = 52(\alpha^2 + 2\alpha + 1) $$

$$ \alpha^4 - 62\alpha^2 - 104\alpha - 27 = 0 $$

したがって、$\alpha$ は4次方程式 $x^4 - 62x^2 - 104x - 27 = 0$ の解である。条件より $f(x)$ は整数係数で $x^4$ の係数が $1$ であるから、求める多項式は以下となる。

$$ f(x) = x^4 - 62x^2 - 104x - 27 $$

(3)

(2) の導出過程より、方程式 $f(x) = 0$ は次のように因数分解できる。

$$ (x^2 - 5)^2 - 52(x + 1)^2 = 0 $$

$$ \{x^2 - 5 - 2\sqrt{13}(x + 1)\}\{x^2 - 5 + 2\sqrt{13}(x + 1)\} = 0 $$

これより、以下の2つの2次方程式を得る。

$$ x^2 - 2\sqrt{13}x - 5 - 2\sqrt{13} = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$$ x^2 + 2\sqrt{13}x - 5 + 2\sqrt{13} = 0 \quad \cdots \text{②} $$

① について

解の公式より

$$ x = \sqrt{13} \pm \sqrt{13 - (-5 - 2\sqrt{13})} = \sqrt{13} \pm \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} $$

ここで、(1) より $18 + 2\sqrt{13} = \left(\sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)^2$ である。$\sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} > 0$ であるから、次が成り立つ。

$$ \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} = \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

よって、① の解は以下の2つである。

$$ x = \sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}}, \quad \sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

② について

解の公式より

$$ x = -\sqrt{13} \pm \sqrt{13 - (-5 + 2\sqrt{13})} = -\sqrt{13} \pm \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} $$

ここで、$\left(\sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)^2$ を計算すると

$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)^2 &= (9+2\sqrt{17}) - 2\sqrt{(9+2\sqrt{17})(9-2\sqrt{17})} + (9-2\sqrt{17}) \\ &= 18 - 2\sqrt{13} \end{aligned} $$

また、$\sqrt{9+2\sqrt{17}} > \sqrt{9-2\sqrt{17}}$ より $\sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} > 0$ であるから、次が成り立つ。

$$ \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} = \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

よって、② の解は以下の2つである。

$$ x = -\sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}}, \quad -\sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

$f(x)$ は4次多項式であるため、代数学の基本定理により重解を含めて4つの解を持つ。上記で求めた4つの実数はすべて異なり、与えられた8つの実数の組み合わせに含まれているため、これらが求めるすべての解である。

解説

累乗根を含んだ代数的な数の最小多項式（あるいはその倍多項式）を求める典型問題である。(2) のように、無理数部分を分離して両辺を2乗する操作は、無理方程式の解法などでも多用される重要な定石である。(3) では、(2) で方程式を展開してしまったものを「展開する前の形」に戻すことで、実質的に4次方程式の因数分解を行っている。導出のプロセスそのものが逆算の手がかりになることを意識したい。また、2重根号を外す際に中身が正であることを確認する手順を忘れないようにする。

答え

(1)

$$ 18 + 2\sqrt{13} $$

(2)

$$ f(x) = x^4 - 62x^2 - 104x - 27 $$

(3)

$$ \begin{aligned} & \sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ & \sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ & -\sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ & -\sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \end{aligned} $$