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名古屋大学 2015年理系第2問解説

方針・初手

無理数の和で表された $\alpha$ を解にもつ整数係数多項式を求める問題である。根号を順次解消していくために、$\alpha$ を移項して両辺を2乗する操作を繰り返す。

解法1

(1)

与えられた式を変形して、根号を含む項をまとめる。

$$ \alpha - \sqrt{13} = \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

両辺を2乗すると、

$$ (\alpha - \sqrt{13})^2 = \left( \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \right)^2 $$

$$ \alpha^2 - 2\sqrt{13}\alpha + 13 = (9+2\sqrt{17}) + 2\sqrt{(9+2\sqrt{17})(9-2\sqrt{17})} + (9-2\sqrt{17}) $$

右辺の根号の中身を計算する。

$$ (9+2\sqrt{17})(9-2\sqrt{17}) = 9^2 - (2\sqrt{17})^2 = 81 - 68 = 13 $$

これを代入して整理する。

$$ \alpha^2 - 2\sqrt{13}\alpha + 13 = 18 + 2\sqrt{13} $$

$$ \alpha^2 - 5 = 2\sqrt{13}(\alpha + 1) $$

再び両辺を2乗して根号を消去する。

$$ (\alpha^2 - 5)^2 = \left\{ 2\sqrt{13}(\alpha + 1) \right\}^2 $$

$$ \alpha^4 - 10\alpha^2 + 25 = 52(\alpha^2 + 2\alpha + 1) $$

$$ \alpha^4 - 62\alpha^2 - 104\alpha - 27 = 0 $$

したがって、求める $x^4$ の係数が $1$ である整数係数の4次多項式 $f(x)$ は以下の通りである。

$$ f(x) = x^4 - 62x^2 - 104x - 27 $$

(2)

(1) の計算過程を逆行することで、$f(x) = 0$ の解を求める。

$$ f(x) = 0 $$

$$ x^4 - 62x^2 - 104x - 27 = 0 $$

(1) の変形から、これは次のように因数分解できる。

$$ (x^2 - 5)^2 - 52(x + 1)^2 = 0 $$

$$ \left\{ (x^2 - 5) - 2\sqrt{13}(x + 1) \right\} \left\{ (x^2 - 5) + 2\sqrt{13}(x + 1) \right\} = 0 $$

したがって、以下の2つの2次方程式が得られる。

$$ x^2 - 2\sqrt{13}x - (5 + 2\sqrt{13}) = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$$ x^2 + 2\sqrt{13}x - (5 - 2\sqrt{13}) = 0 \quad \cdots \text{②} $$

解の公式を用いてそれぞれを解く。

①について：

$$ x = \sqrt{13} \pm \sqrt{13 + (5 + 2\sqrt{13})} = \sqrt{13} \pm \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} $$

ここで、(1) の計算より $\left( \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \right)^2 = 18 + 2\sqrt{13}$ である。さらに $\sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} > 0$ であるため、二重根号を外すことができる。

$$ \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} = \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

よって、①の解は次の2つである。

$$ x = \sqrt{13} \pm \left( \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \right) $$

②について：

$$ x = -\sqrt{13} \pm \sqrt{13 + (5 - 2\sqrt{13})} = -\sqrt{13} \pm \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} $$

同様に、$\left( \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \right)^2 = 18 - 2\sqrt{13}$ であり、$\sqrt{9+2\sqrt{17}} > \sqrt{9-2\sqrt{17}}$ であることから正の平方根を取る。

$$ \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} = \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

よって、②の解は次の2つである。

$$ x = -\sqrt{13} \pm \left( \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \right) $$

以上より、$f(x) = 0$ の4つの解は以下のようになる。

$$ x = \begin{cases} \sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ \sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ -\sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ -\sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \end{cases} $$

4次方程式の解は複素数範囲で高々4つである。上記の4つの実数は互いに異なるため、これらが $f(x)=0$ のすべての解である。与えられた8つの実数のうち、これら4つに該当しない残りの4つの数は $f(x)=0$ の解ではない。

(3)

(2) で求めた4つの解を次のように置く。

$$ \begin{aligned} x_1 &= \sqrt{13} + \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} \\ x_2 &= \sqrt{13} - \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} \\ x_3 &= -\sqrt{13} + \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} \\ x_4 &= -\sqrt{13} - \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} \end{aligned} $$

それぞれの値の符号と大小を調べる。

$18 + 2\sqrt{13} > 13$ であるから、$\sqrt{18 + 2\sqrt{13}} > \sqrt{13}$ である。よって、$x_1 > 0$、$x_2 < 0$ となる。

$18 - 2\sqrt{13} - 13 = 5 - 2\sqrt{13} = \sqrt{25} - \sqrt{52} < 0$ であるから、$\sqrt{18 - 2\sqrt{13}} < \sqrt{13}$ である。よって、$x_3 < 0$、$x_4 < 0$ となる。

これより、$x_1$ が最大の解であると分かる。次に、負の解である $x_2, x_3, x_4$ の大小関係を比較する。

$x_3$ と $x_4$ の比較：明らかに $x_3 > x_4$ である。

$x_3$ と $x_2$ の比較：

$$ x_3 - x_2 = -2\sqrt{13} + \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} + \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} $$

ここで、$A = \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} + \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} > 0$ とおき、$A^2$ と $(2\sqrt{13})^2$ を比較する。

$$ \begin{aligned} A^2 &= (18 - 2\sqrt{13}) + (18 + 2\sqrt{13}) + 2\sqrt{(18 - 2\sqrt{13})(18 + 2\sqrt{13})} \\ &= 36 + 2\sqrt{324 - 52} \\ &= 36 + 2\sqrt{272} \\ &= 36 + 8\sqrt{17} \end{aligned} $$

$(2\sqrt{13})^2 = 52$ であり、$\sqrt{17} > 4$ より $8\sqrt{17} > 32$ であるから、 $A^2 > 36 + 32 = 68 > 52$ したがって $A > 2\sqrt{13}$ となり、$x_3 - x_2 > 0$、すなわち $x_3 > x_2$ である。

$x_2$ と $x_4$ の比較：

$$ x_2 - x_4 = 2\sqrt{13} - \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} + \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} $$

ここで、$B = \sqrt{18 + 2\sqrt{13}} - \sqrt{18 - 2\sqrt{13}} > 0$ とおき、$(2\sqrt{13})^2$ と $B^2$ を比較する。

$$ \begin{aligned} B^2 &= (18 + 2\sqrt{13}) + (18 - 2\sqrt{13}) - 2\sqrt{(18 + 2\sqrt{13})(18 - 2\sqrt{13})} \\ &= 36 - 2\sqrt{272} \\ &= 36 - 8\sqrt{17} \end{aligned} $$

$B^2 < 36 < 52 = (2\sqrt{13})^2$ であるから、$2\sqrt{13} > B$ となり、$x_2 - x_4 > 0$、すなわち $x_2 > x_4$ である。

以上より、大小関係は $x_1 > x_3 > x_2 > x_4$ となる。これを元の表記に戻して大きい順に並べる。

解説

代数的数を根とする整数係数多項式を求める問題（最小多項式に関連するテーマ）と、その方程式の他の解（共役な数）を導出する問題である。(1) で2乗を繰り返す際に、同値変形が崩れる（十分条件のみになる）ため、(2) で求めた4次方程式が元の数以外にどのような解を持つのかを考察する流れとなっている。 (3) の大小比較では、符号の確認と、正の数の平方同士の比較に持ち込むことで、二重根号を外す前の形 $\sqrt{18 \pm 2\sqrt{13}}$ を利用すると見通しよく計算できる。