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名古屋大学 2019年文系第2問解説

方針・初手

与えられた $x_n, y_n$ の連立漸化式を、素直に $x_{n+1}, y_{n+1}$ について解くことが第一歩である。各式の $x_{n+1}, y_{n+1}$ を左辺に、それ以外を右辺にまとめた連立方程式として解くことで、次項との関係が明確になる。また、本問のように座標平面上の点が連立漸化式で定められている場合、複素数平面を利用して $z_n = x_n + i y_n$ とおくと、非常に計算が簡略化されることが多い。本問では実数のまま処理する方法と、複素数平面を用いる方法の2つを示す。

解法1

(1)

与えられた漸化式を $x_{n+1}, y_{n+1}$ について整理する。

$$ \begin{cases} x_{n+1} + k y_{n+1} = x_n - k y_n & \cdots ① \\ -k x_{n+1} + y_{n+1} = k x_n + y_n & \cdots ② \end{cases} $$

$① \times 1 + ② \times (-k)$ より、$y_{n+1}$ を消去する。

$$ (1+k^2) x_{n+1} = (1-k^2) x_n - 2k y_n $$

これを $x_{n+1}$ について解く。

$$ x_{n+1} = \frac{1-k^2}{1+k^2} x_n - \frac{2k}{1+k^2} y_n $$

次に、$① \times k + ② \times 1$ より、$x_{n+1}$ を消去する。

$$ (1+k^2) y_{n+1} = 2k x_n + (1-k^2) y_n $$

これを $y_{n+1}$ について解く。

$$ y_{n+1} = \frac{2k}{1+k^2} x_n + \frac{1-k^2}{1+k^2} y_n $$

ここで、$k = \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)$ を代入し、三角関数の公式を用いて変形する。

$$ \frac{1-k^2}{1+k^2} = \frac{1 - \tan^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\cos^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \cos \alpha $$

$$ \frac{2k}{1+k^2} = \frac{2\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{2\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \sin \alpha $$

したがって、漸化式は次のように簡潔に表せる。

$$ \begin{cases} x_{n+1} = x_n \cos \alpha - y_n \sin \alpha \\ y_{n+1} = x_n \sin \alpha + y_n \cos \alpha \end{cases} $$

$n=0$ のとき、$(x_0, y_0) = (1, 0)$ であるから、これを代入して $P_1$ の座標を求める。

$$ x_1 = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha $$

$$ y_1 = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha $$

よって、$P_1 (\cos \alpha, \sin \alpha)$ となる。

さらに $n=1$ のとき、求めた $(x_1, y_1)$ を代入して $P_2$ の座標を求める。

$$ x_2 = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos 2\alpha $$

$$ y_2 = \cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha $$

よって、$P_2 (\cos 2\alpha, \sin 2\alpha)$ となる。

(2)

(1) で得られた漸化式は、点 $P_{n+1}$ が点 $P_n$ を原点中心に角 $\alpha$ だけ回転移動した点であることを示している。 $P_0 (1, 0)$ であるから、点 $P_n$ は点 $P_0$ を原点中心に角 $n\alpha$ だけ回転移動した点である。したがって、$P_n$ の座標は次のようになる。

$$ (x_n, y_n) = (\cos n\alpha, \sin n\alpha) $$

(3)

$\triangle P_n O P_{n+1}$ の面積を $S$ とする。 (2) より、$P_n$ および $P_{n+1}$ は原点を中心とする半径 $1$ の円周上の点であるため、$OP_n = OP_{n+1} = 1$ である。また、これらの点のなす角は $\angle P_n O P_{n+1} = \alpha$ である。条件 $0 < \alpha < \pi$ より $\sin \alpha > 0$ であるから、面積 $S$ は次のように計算できる。

$$ S = \frac{1}{2} \cdot OP_n \cdot OP_{n+1} \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha $$

(1) の導出過程より $\sin \alpha = \frac{2k}{1+k^2}$ であるから、これを代入する。

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2k}{1+k^2} = \frac{k}{1+k^2} $$

解法2

(1)

点 $P_n(x_n, y_n)$ に対応する複素数を $z_n = x_n + i y_n$ とする。与えられた漸化式を以下に示す。

$$ \begin{cases} x_{n+1} = x_n - k(y_n + y_{n+1}) \\ y_{n+1} = y_n + k(x_n + x_{n+1}) \end{cases} $$

第2式に虚数単位 $i$ を掛け、第1式と辺々を足し合わせる。

$$ x_{n+1} + i y_{n+1} = x_n + i y_n - k(y_n + y_{n+1}) + i k(x_n + x_{n+1}) $$

$z_n, z_{n+1}$ を用いて整理する。

$$ z_{n+1} = z_n + i k (x_n + i y_n) + i k (x_{n+1} + i y_{n+1}) $$

$$ z_{n+1} = z_n + i k z_n + i k z_{n+1} $$

$z_{n+1}$ を左辺にまとめ、等式を変形する。

$$ (1 - i k) z_{n+1} = (1 + i k) z_n $$

$k$ は実数であるから $1 - i k \neq 0$ であり、両辺を割ることができる。

$$ z_{n+1} = \frac{1 + i k}{1 - i k} z_n $$

ここで $k = \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)$ を代入する。

$$ \frac{1 + i k}{1 - i k} = \frac{1 + i \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 - i \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) - i \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)} $$

分母分子に $\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)$ を掛けて実数化する。

$$ \frac{1 + i k}{1 - i k} = \left( \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \right)^2 = \cos \alpha + i \sin \alpha $$

よって、複素数を用いた漸化式は次のように表される。

$$ z_{n+1} = (\cos \alpha + i \sin \alpha) z_n $$

$z_0 = 1 + 0 \cdot i = 1$ より、$n=0, 1$ を代入して順次求める。

$$ z_1 = (\cos \alpha + i \sin \alpha) \cdot 1 = \cos \alpha + i \sin \alpha $$

$$ z_2 = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^2 = \cos 2\alpha + i \sin 2\alpha $$

実部と虚部を比較することで、$P_1 (\cos \alpha, \sin \alpha)$、$P_2 (\cos 2\alpha, \sin 2\alpha)$ を得る。

(2)

(1) で得られた式は公比が $\cos \alpha + i \sin \alpha$ の等比数列を表しているため、一般項は容易に求められる。

$$ z_n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n z_0 = \cos n\alpha + i \sin n\alpha $$

実部と虚部を比較し、$P_n (\cos n\alpha, \sin n\alpha)$ となる。

(3)

三角形の面積は座標を用いても計算できる。 $P_n (x_n, y_n)$、$P_{n+1} (x_{n+1}, y_{n+1})$ と原点 $O$ がなす $\triangle P_n O P_{n+1}$ の面積 $S$ は次の公式で求まる。

$$ S = \frac{1}{2} |x_n y_{n+1} - x_{n+1} y_n| $$

(2) の結果を用いて座標を代入する。

$$ S = \frac{1}{2} |\cos n\alpha \sin (n+1)\alpha - \cos (n+1)\alpha \sin n\alpha| $$

加法定理を用いて整理する。

$$ S = \frac{1}{2} |\sin ((n+1)\alpha - n\alpha)| = \frac{1}{2} |\sin \alpha| $$

条件 $0 < \alpha < \pi$ より $\sin \alpha > 0$ であるため、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$ S = \frac{1}{2} \sin \alpha $$

$\sin \alpha = \frac{2k}{1+k^2}$ であるから、これを代入する。

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2k}{1+k^2} = \frac{k}{1+k^2} $$

解説

本問は、一見すると複雑な連立漸化式であるが、適切に整理することで「回転移動」を表す式に帰着する典型的な問題である。解法1のように実数のまま加減法を用いて $x_{n+1}, y_{n+1}$ について解くアプローチは確実であり、行列の一次変換の知識があればさらに見通しよく計算できる。一方、解法2のように複素数平面を用いるアプローチは、回転移動の処理において圧倒的に計算量が少なく、スマートな解答が可能となる。$x, y$ の連立漸化式が回転や相似拡大を思わせる形をしている場合は、複素数 $z = x + iy$ を導入する解法を常に選択肢として持っておくことが望ましい。