名古屋大学 2019年 文系 第1問 解説

方針・初手

$g(x) = F(x) - f(x)$ とおく。$y = g(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わる条件は、3次方程式 $g(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつことである。 これは、3次関数 $g(x)$ が極大値と極小値をもち、かつそれらの積が負であることと同値である。 微分の性質 $F'(x) = f(x)$ を利用して $g'(x)$ を計算し、極値をとる $x$ の値を求めることから始める。

解法1

$g(x) = F(x) - f(x)$ とおく。 $f(x) = x^2 + ax - a$ は2次関数であり、$F(x) = \int_0^x f(t) dt$ は $x^3$ の係数が $\frac{1}{3}$ の3次関数であるから、$g(x)$ も $x^3$ の係数が $\frac{1}{3}$ の3次関数である。

$g(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつための条件は、$g(x)$ が極大値と極小値をもち、かつ

$$ (\text{極大値}) \times (\text{極小値}) < 0 $$

が成り立つことである。

関数 $g(x)$ を微分する。微積分学の基本定理より $F'(x) = f(x)$ であるから、

$$ g'(x) = F'(x) - f'(x) = f(x) - f'(x) $$

となる。ここで $f(x) = x^2 + ax - a$ より $f'(x) = 2x + a$ であるから、

$$ \begin{aligned} g'(x) &= (x^2 + ax - a) - (2x + a) \\ &= x^2 + (a - 2)x - 2a \\ &= (x + a)(x - 2) \end{aligned} $$

となる。

$g(x)$ が極値をもつ条件は、$g'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことである。 よって、$-a \neq 2$ すなわち $a \neq -2$ が必要である。

このとき、$g(x)$ は $x = -a$ と $x = 2$ で極値をとる。求める条件は $g(-a)g(2) < 0$ である。 極値 $g(2)$ と $g(-a)$ をそれぞれ計算する。

$$ F(x) = \int_0^x (t^2 + at - a) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{a}{2}t^2 - at \right]_0^x = \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 - ax $$

であるから、

$$ \begin{aligned} g(2) &= F(2) - f(2) \\ &= \left( \frac{8}{3} + 2a - 2a \right) - (4 + 2a - a) \\ &= \frac{8}{3} - (a + 4) \\ &= -a - \frac{4}{3} \\ &= -\frac{3a + 4}{3} \end{aligned} $$

となる。また、

$$ \begin{aligned} g(-a) &= F(-a) - f(-a) \\ &= \left( -\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 + a^2 \right) - (a^2 - a^2 - a) \\ &= \left( \frac{1}{6}a^3 + a^2 \right) - (-a) \\ &= \frac{1}{6}a^3 + a^2 + a \\ &= \frac{a(a^2 + 6a + 6)}{6} \end{aligned} $$

となる。

これらを $g(-a)g(2) < 0$ に代入して、

$$ -\frac{3a + 4}{3} \cdot \frac{a(a^2 + 6a + 6)}{6} < 0 $$

両辺に $-18$ を掛けると、次の不等式を得る。

$$ a(3a + 4)(a^2 + 6a + 6) > 0 $$

ここで、$a^2 + 6a + 6 = 0$ の解は $a = -3 \pm \sqrt{3}$ であり、因数の境界となる値の大小関係を調べる。

$$ (-3 + \sqrt{3}) - \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{5}{3} + \sqrt{3} = \frac{-5 + \sqrt{27}}{3} > 0 $$

であるから、$-\frac{4}{3} < -3 + \sqrt{3}$ が成り立つ。 したがって、4つの値の大小関係は

$$ -3 - \sqrt{3} < -\frac{4}{3} < -3 + \sqrt{3} < 0 $$

となる。

これより、不等式 $a(3a + 4)(a^2 + 6a + 6) > 0$ を解くと、

$$ a < -3 - \sqrt{3}, \quad -\frac{4}{3} < a < -3 + \sqrt{3}, \quad 0 < a $$

となる。 極値をもつための条件 $a \neq -2$ については、$-2$ はこの解の範囲に含まれないため、自動的に満たされる。

解説

3次関数が $x$ 軸と異なる3点で交わるための条件を求める定石問題である。3次関数が「極大値と極小値をもち、かつそれらの積が負になる」という条件に帰着させるのが基本方針となる。

本問の計算の工夫として、$F(x)$ が $f(x)$ の定積分で定義されていることから $F'(x) = f(x)$ が成り立つことを利用する。これにより $g'(x) = f(x) - f'(x)$ となり、$g(x)$ の式をすべて展開してから微分するよりも計算が簡略化され、極値をとる $x$ の値が見つけやすくなる。

答え

$$ a < -3 - \sqrt{3}, \quad -\frac{4}{3} < a < -3 + \sqrt{3}, \quad 0 < a $$