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名古屋大学 1992年文系第2問解説

方針・初手

(1) は与えられた行列が表す $1$ 次変換の幾何学的意味（回転と相似拡大の合成）を見抜くアプローチと、軌跡の考え方を用いて変換前後の点の座標を関係づけるアプローチが考えられる。ここでは図形的な性質を利用する解法を第一に採用し、座標計算による解法を別解として示す。 (2) は「円が $x$ 軸および $y$ 軸に接する」という図形的な条件を、「中心の座標の絶対値が半径と等しい」という数式に翻訳して連立方程式を立てる。

解法1

(1) 行列 $X$ は、次のように変形できる。

$$ X = \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix} = \sqrt{t^2+1} \begin{pmatrix} \frac{t}{\sqrt{t^2+1}} & \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \\ -\frac{1}{\sqrt{t^2+1}} & \frac{t}{\sqrt{t^2+1}} \end{pmatrix} $$

ここで、$\cos\theta = \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}, \sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}$ を満たす角 $\theta$ を用いると、行列 $X$ は次のように表せる。

$$ X = \sqrt{t^2+1} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

これは、原点を中心とする角 $\theta$ の回転と、原点を中心とする $\sqrt{t^2+1}$ 倍の相似拡大の合成変換であることを意味する。一般に、円はこの変換によって円に移る。元の円の中心 $(0, \alpha)$ はこの変換により、以下の点に移る。

$$ \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha t \end{pmatrix} $$

また、相似拡大の倍率が $\sqrt{t^2+1}$ であるため、移った後の円の半径は $1 \times \sqrt{t^2+1} = \sqrt{t^2+1}$ となる。したがって、図形 $C$ は中心 $(\alpha, \alpha t)$、半径 $\sqrt{t^2+1}$ の円である。

(2) 円 $C$ が $x$ 軸、$y$ 軸のいずれとも接するための条件は、$C$ の中心の $x$ 座標および $y$ 座標の絶対値が、ともに $C$ の半径と等しくなることである。すなわち、

$$ \begin{cases} |\alpha| = \sqrt{t^2+1} & \cdots \text{①} \\ |\alpha t| = \sqrt{t^2+1} & \cdots \text{②} \end{cases} $$

①の両辺を $2$ 乗して、

$$ \alpha^2 = t^2+1 \cdots \text{①}' $$

②の両辺を $2$ 乗して、

$$ \alpha^2 t^2 = t^2+1 \cdots \text{②}' $$

①$'$ を ②$'$ に代入して整理すると、

$$ \alpha^2 t^2 = \alpha^2 $$

$$ \alpha^2(t^2 - 1) = 0 $$

条件より $\alpha > 1$ であるから、$\alpha \neq 0$ である。両辺を $\alpha^2$ で割ると、

$$ t^2 - 1 = 0 $$

$$ t = \pm 1 $$

このとき、$t^2+1 = 2$ となるため、これを ①$'$ に代入すると、

$$ \alpha^2 = 2 $$

$\alpha > 1$ より、

$$ \alpha = \sqrt{2} $$

これは条件を満たす。したがって、求める値は $\alpha = \sqrt{2}, t = \pm 1$ である。

解法2

(1) の別解 変換前の円上の点を $(x, y)$、変換により移った図形 $C$ 上の点を $(X, Y)$ とおく。条件より、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

行列 $X$ の行列式は $t \times t - 1 \times (-1) = t^2 + 1$ である。$t$ は実数であるから $t^2+1 \neq 0$ となり、$X$ は逆行列をもつ。よって、

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{t^2+1} \begin{pmatrix} t & -1 \\ 1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} $$

$$ x = \frac{tX - Y}{t^2+1}, \quad y = \frac{X + tY}{t^2+1} $$

点 $(x, y)$ は中心 $(0, \alpha)$、半径 $1$ の円上にあるため、$x^2 + (y-\alpha)^2 = 1$ を満たす。これに先ほどの $x, y$ を代入する。

$$ \left( \frac{tX - Y}{t^2+1} \right)^2 + \left( \frac{X + tY}{t^2+1} - \alpha \right)^2 = 1 $$

両辺に $(t^2+1)^2$ を掛けて整理する。

$$ (tX - Y)^2 + (X + tY - \alpha(t^2+1))^2 = (t^2+1)^2 $$

展開してまとめる。

$$ t^2 X^2 - 2tXY + Y^2 + X^2 + 2tXY + t^2 Y^2 - 2\alpha(t^2+1)X - 2\alpha t(t^2+1)Y + \alpha^2(t^2+1)^2 = (t^2+1)^2 $$

$$ (t^2+1)X^2 + (t^2+1)Y^2 - 2\alpha(t^2+1)X - 2\alpha t(t^2+1)Y + \alpha^2(t^2+1)^2 = (t^2+1)^2 $$

$t^2+1 > 0$ より両辺を $t^2+1$ で割る。

$$ X^2 + Y^2 - 2\alpha X - 2\alpha t Y + \alpha^2(t^2+1) = t^2+1 $$

平方完成を行う。

$$ (X - \alpha)^2 + (Y - \alpha t)^2 - \alpha^2 - \alpha^2 t^2 + \alpha^2(t^2+1) = t^2+1 $$

$$ (X - \alpha)^2 + (Y - \alpha t)^2 = t^2+1 $$

したがって、図形 $C$ は中心 $(\alpha, \alpha t)$、半径 $\sqrt{t^2+1}$ の円である。

解説

(1) は $1$ 次変換の代表的な性質を利用する問題である。$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ や $\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ の形の行列は、複素数平面における複素数の積の変換と同様に、原点中心の回転と相似拡大の合成として解釈できる。この幾何学的な意味に気づければ、計算を大幅に省略できる。もちろん、解法2のように $1$ 次変換の定義通りに軌跡の方程式を求めても正解にたどり着くことができるが、計算量が増えるため展開時の符号ミスなどに注意したい。 (2) は「座標軸に接する円」の扱い方の基本である。「中心の座標と半径の関係」を絶対値を用いて正しく定式化することがポイントとなる。連立方程式は文字が多く見えるが、必要条件から絞り込む同値変形を意識して解き進めれば難しくはない。