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名古屋大学 1975年理系第1問解説

方針・初手

(1) 底が異なる対数の大小比較である。底を $2$ または $3$ のいずれかに統一して差の正負を調べるか、具体的な有理数を間に挟んで比較する方針が有効である。本問では $2^3 = 8$ と $3^2 = 9$ が近い値であることに着目すると、評価が簡明になる。

(2) 複数の余弦（コサイン）の和を求める問題である。各項の角度に着目すると $\frac{2}{9}\pi$ ごとに増えており、単位円上の対称性を利用できることが分かる。$\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ を用いて項をまとめ、和と積の公式を利用して計算を進めるのが標準的な手筋である。

解法1

(1) $2^3 = 8$ および $3^2 = 9$ より、$2^3 < 3^2$ である。

この不等式の両辺について、底が $2$ の対数をとると、底の $2$ は $1$ より大きいから、

$$ 3 < 2\log_2 3 $$

$$ \frac{3}{2} < \log_2 3 $$

が成り立つ。

一方、$2^3 < 3^2$ の両辺について、底が $3$ の対数をとると、底の $3$ は $1$ より大きいから、

$$ 3\log_3 2 < 2 $$

$$ \log_3 2 < \frac{2}{3} $$

が成り立つ。これより、

$$ \log_3 4 = \log_3 (2^2) = 2\log_3 2 < 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$

となる。

以上の結果と $\frac{4}{3} < \frac{3}{2}$ であることから、

$$ \log_3 4 < \frac{4}{3} < \frac{3}{2} < \log_2 3 $$

が成り立つ。ゆえに、$\log_2 3 > \log_3 4$ である。

(2) 求める和を $S$ とおく。すなわち、

$$ S = \cos \frac{2}{9}\pi + \cos \frac{4}{9}\pi + \cos \frac{8}{9}\pi + \cos \frac{10}{9}\pi + \cos \frac{14}{9}\pi + \cos \frac{16}{9}\pi $$

とする。$\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ の関係式を用いると、後半の3項はそれぞれ以下のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \cos \frac{16}{9}\pi &= \cos\left(2\pi - \frac{2}{9}\pi\right) = \cos \frac{2}{9}\pi \\ \cos \frac{14}{9}\pi &= \cos\left(2\pi - \frac{4}{9}\pi\right) = \cos \frac{4}{9}\pi \\ \cos \frac{10}{9}\pi &= \cos\left(2\pi - \frac{8}{9}\pi\right) = \cos \frac{8}{9}\pi \end{aligned} $$

したがって、$S$ は次のようにまとめられる。

$$ S = 2 \left( \cos \frac{2}{9}\pi + \cos \frac{4}{9}\pi + \cos \frac{8}{9}\pi \right) $$

かっこの中の前の2項に対して、和と積の公式 $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ を適用する。

$$ \begin{aligned} \cos \frac{2}{9}\pi + \cos \frac{4}{9}\pi &= 2 \cos \frac{\frac{2}{9}\pi + \frac{4}{9}\pi}{2} \cos \frac{\frac{2}{9}\pi - \frac{4}{9}\pi}{2} \\ &= 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos \left(-\frac{\pi}{9}\right) \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{9} \\ &= \cos \frac{\pi}{9} \end{aligned} $$

これを与式に代入すると、

$$ S = 2 \left( \cos \frac{\pi}{9} + \cos \frac{8}{9}\pi \right) $$

となる。ここで $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ より、

$$ \cos \frac{8}{9}\pi = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{9}\right) = -\cos \frac{\pi}{9} $$

であるから、

$$ S = 2 \left( \cos \frac{\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{9} \right) = 0 $$

となる。

解法2

(1) 底の変換公式を用いて差をとる別解を示す。

底の変換公式より、$\log_3 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 3} = \frac{2}{\log_2 3}$ であるから、2数の差は

$$ \log_2 3 - \log_3 4 = \log_2 3 - \frac{2}{\log_2 3} = \frac{(\log_2 3)^2 - 2}{\log_2 3} $$

と表せる。ここで、$2^3 < 3^2$ の両辺に底が $2$ の対数をとることで $\frac{3}{2} < \log_2 3$ が分かる。両辺とも正であるから、2乗して

$$ (\log_2 3)^2 > \frac{9}{4} > 2 $$

が成り立つ。したがって、分子は $(\log_2 3)^2 - 2 > 0$ であり、分母も $\log_2 3 > 0$ であるため、

$$ \log_2 3 - \log_3 4 > 0 $$

が導かれる。ゆえに、$\log_2 3 > \log_3 4$ である。

(2) 方程式の解と係数の関係（1の $n$ 乗根の性質）を用いた別解を示す。

方程式 $z^9 = 1$ を考える。この方程式の解は、$k = 0, 1, 2, \dots, 8$ として

$$ z_k = \cos \frac{2k}{9}\pi + i \sin \frac{2k}{9}\pi $$

で与えられる。また、方程式 $z^9 - 1 = 0$ における $z^8$ の係数は $0$ であるから、解と係数の関係より、これら9つの解の和は $0$ になる。

$$ \sum_{k=0}^{8} z_k = 0 $$

この両辺の実部をとると、次式が得られる。

$$ \sum_{k=0}^{8} \cos \frac{2k}{9}\pi = 0 $$

和を展開すると、

$$ 1 + \cos \frac{2}{9}\pi + \cos \frac{4}{9}\pi + \cos \frac{6}{9}\pi + \cos \frac{8}{9}\pi + \cos \frac{10}{9}\pi + \cos \frac{12}{9}\pi + \cos \frac{14}{9}\pi + \cos \frac{16}{9}\pi = 0 $$

となる。ここで、$k=3, 6$ の項は具体的に値が求まり、

$$ \begin{aligned} \cos \frac{6}{9}\pi &= \cos \frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2} \\ \cos \frac{12}{9}\pi &= \cos \frac{4}{3}\pi = -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。求める和を $S$ とすると、上の式は次のように書ける。

$$ 1 + S + \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 $$

これを整理して、$S = 0$ を得る。

解説

(1) は対数の大小比較における典型的な問題である。解答のように「差をとる」か「有理数を間に挟む」のが定石である。$2^3=8$ と $3^2=9$ という近い値を利用して、$\frac{3}{2}$ や $\sqrt{2}$ といった扱いやすい有理数や無理数と比較することで簡明に示せる。

(2) のように偏角が等差数列をなす三角関数の和は、和と積の公式を繰り返し用いることで項を相殺できることが多い。また、解法2で示したように、複素数平面における正多角形の重心が原点に一致すること（または1の $n$ 乗根の和が $0$ になること）を利用すると、計算量を大幅に減らすことができるため、知識として持っておくとよい。