東北大学 1977年 理系 第5問 解説

方針・初手

（1） は $f(x)=2\sqrt{x}-\log(1+x)$ の増減を調べればよい。

（2） は $\sin \dfrac{\pi t}{2}$ の基本的な評価と、$0\le t\le 1$ での $1+t\ge 2t$ を使う。

（3） は （2） の評価をそのまま $(1+\sin \dfrac{\pi t}{2})^n$ に持ち上げて積分し、はさみうちを行えばよい。

解法1

(1)

$$ f(x)=2\sqrt{x}-\log(1+x)\qquad (x\ge 1) $$

とおく。

このとき

$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{1+x} =\frac{1+x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} $$

である。

$x\ge 1$ では $1+x>\sqrt{x}$ であるから、

$$ f'(x)>0 $$

となる。したがって $f(x)$ は $x\ge 1$ で単調増加である。

よって

$$ f(x)\ge f(1)=2-\log 2>0 $$

となるから、

$$ \log(1+x)<2\sqrt{x}\qquad (x\ge 1) $$

が成り立つ。

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(2)

まず、$0\le t\le 1$ より

$$ 0\le \frac{\pi t}{2}\le \frac{\pi}{2} $$

である。

この範囲では $\sin \dfrac{\pi t}{2}\le 1$ であるから、

$$ 1+\sin\frac{\pi t}{2}\le 2 $$

を得る。

次に、$0\le u\le \dfrac{\pi}{2}$ で $\sin u\ge \dfrac{2}{\pi}u$ が成り立つので、$u=\dfrac{\pi t}{2}$ とすると

$$ \sin\frac{\pi t}{2}\ge t $$

である。したがって

$$ 1+\sin\frac{\pi t}{2}\ge 1+t $$

を得る。さらに $0\le t\le 1$ より $1\ge t$ だから

$$ 1+t\ge 2t $$

である。以上より

$$ 2t\le 1+\sin\frac{\pi t}{2}\le 2 $$

が成り立つ。

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(3)

$$ I_n=\int_0^1 \left(1+\sin\frac{\pi t}{2}\right)^n,dt $$

とおく。

（2） より、$0\le t\le 1$ で

$$ 2t\le 1+\sin\frac{\pi t}{2}\le 2 $$

であるから、両辺を $n$ 乗して

$$ (2t)^n\le \left(1+\sin\frac{\pi t}{2}\right)^n\le 2^n $$

を得る。これを $0$ から $1$ まで積分すると

$$ \int_0^1 (2t)^n,dt \le I_n \le \int_0^1 2^n,dt $$

すなわち

$$ \frac{2^n}{n+1}\le I_n\le 2^n $$

となる。

ここで $n$ 乗根をとると

$$ \frac{2}{(n+1)^{1/n}} \le I_n^{1/n} \le 2 $$

である。

$n\to\infty$ とすると $(n+1)^{1/n}\to 1$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} I_n^{1/n}=2 $$

となる。したがって

$$ \lim_{n\to\infty} \left\{ \int_0^1 \left(1+\sin\frac{\pi t}{2}\right)^n,dt \right\}^{1/n} =2 $$

である。

解説

（1） は不等式そのものを直接いじるより、差をとって単調性を見るのが自然である。$\sqrt{x}$ と $\log(1+x)$ の大小比較では、この方法が標準的である。

（2） の上側評価は $\sin\le 1$ でただちに出る。下側評価は $\sin \dfrac{\pi t}{2}\ge t$ を使うのが核心で、その後は $0\le t\le 1$ により $1+t\ge 2t$ とつなげればよい。

（3） は （2） の評価をそのまま $n$ 乗して積分するだけでよい。最大値が $2$ であるため極限は $2$ になりそうだと見当をつけ、そのことをはさみうちで厳密に示している。

答え

$$ \log(1+x)<2\sqrt{x}\qquad (x\ge 1) $$

$$ 2t\le 1+\sin\frac{\pi t}{2}\le 2\qquad (0\le t\le 1) $$

$$ \lim_{n\to\infty} \left\{ \int_0^1 \left(1+\sin\frac{\pi t}{2}\right)^n,dt \right\}^{1/n} =2 $$