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九州大学 1996年文系第2問解説

方針・初手

点 $P$ の座標を角 $\theta$ を用いて $\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$ と表し、$1$ 次変換による像 $f(\overrightarrow{OP})$ を成分で計算する。そのうえでベクトルの内積を $\theta$ の関数として立式し、半角の公式・$2$ 倍角の公式を用いて次数を下げ、三角関数の合成を利用して最大値と最小値を求める。

解法1

(1)

点 $P$ は原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあり、$x$ 軸の正の部分を始線とする角 $\theta$ の動径上の点であるから、その位置ベクトルは以下のように表せる。

$$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$$

$1$ 次変換 $f$ を表す行列を $A = \begin{pmatrix} 2 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}$ とおくと、ベクトル $f(\overrightarrow{OP})$ は以下のようになる。

$$f(\overrightarrow{OP}) = A\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 2 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta \\ \sqrt{3}\cos\theta \end{pmatrix}$$

したがって、ベクトル $f(\overrightarrow{OP})$ と $\overrightarrow{OP}$ の内積は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} f(\overrightarrow{OP}) \cdot \overrightarrow{OP} &= (2\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta)\cos\theta + (\sqrt{3}\cos\theta)\sin\theta \\ &= 2\cos^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$$

ここで、半角の公式および $2$ 倍角の公式を用いると、

$$\begin{aligned} 2\cos^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta &= 2 \cdot \frac{1+\cos 2\theta}{2} + \sqrt{3}\sin 2\theta \\ &= \sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 \end{aligned}$$

となる。さらに三角関数の合成を行うと、

$$\begin{aligned} \sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 &= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta\right) + 1 \\ &= 2\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + 1 \end{aligned}$$

となり、これが求める内積の関数である。

定義域は $0 \leqq \theta \leqq \pi$ であるから、角 $2\theta + \frac{\pi}{6}$ のとりうる範囲は、

$$\frac{\pi}{6} \leqq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leqq 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$$

となる。

この範囲において、$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$ は、

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき、最大値 $1$ をとる。

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき、最小値 $-1$ をとる。

したがって、内積の最大値および最小値は以下のようになる。

最大値: $2 \cdot 1 + 1 = 3$

最小値: $2 \cdot (-1) + 1 = -1$

(2)

(1) より、関数が最大値をとる $\theta$ の値は $\theta = \frac{\pi}{6}$ である。

このとき、$\overrightarrow{OP}$ は以下のように定まる。

$$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{6} \\ \sin\frac{\pi}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

また、$f(\overrightarrow{OP})$ は以下のようになる。

$$f(\overrightarrow{OP}) = \begin{pmatrix} 2 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \\ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$$

ここで、$f(\overrightarrow{OP})$ をくくり出すと、

$$f(\overrightarrow{OP}) = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = 3 \overrightarrow{OP}$$

が成り立つ。

$\overrightarrow{OP} \neq \vec{0}$ であり、$f(\overrightarrow{OP})$ は $\overrightarrow{OP}$ の実数倍（$3$倍）で表されるため、$f(\overrightarrow{OP})$ と $\overrightarrow{OP}$ は平行である。

解説

本問は、行列による1次変換と三角関数の最大・最小を組み合わせた典型的な問題である。点 $P$ の座標を $\theta$ を用いて表し、内積を計算した後に三角関数の $2$ 倍角の公式と合成を用いて関数を処理する流れは、標準的な手順として確実にマスターしておきたい。

なお、大学数学の範囲になるが、本問は対称行列の「二次形式」と「固有値問題」を背景としている。内積 $(A\overrightarrow{OP})\cdot\overrightarrow{OP}$ の最大値・最小値は、実対称行列 $A$ の固有値に一致し、その最大値を与える単位ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は最大固有値に対応する固有ベクトルとなる。(2) で $f(\overrightarrow{OP}) = 3\overrightarrow{OP}$ となるのは、最大値 $3$ が最大固有値であり、$\overrightarrow{OP}$ がその固有ベクトルであることを意味している。