名古屋大学 1987年 理系 第1問 解説

方針・初手

• 2曲線の交点 $P$ の座標を $c$ を用いて表す。
• それぞれの曲線を微分し、$P$ における接線の傾きを求める。
• 2直線のなす角の公式（$\tan$ の加法定理）を用いて $\tan \theta$ を $c$ の式で表す。
• $c > 0$ における $\tan \theta$ のとり得る値の範囲を求め、そこから $\theta$ の範囲を導く。

解法1

$y = cx^{\frac{3}{2}}$ と $y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ の交点 $P$ の $x$ 座標は、これらを連立して

$$ cx^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2}} $$

$x > 0$（原点でない交点）であるから、両辺を $x^{\frac{1}{2}}$ で割ると

$$ cx = 1 $$

$$ x = \frac{1}{c} $$

よって、交点 $P$ の $x$ 座標は $x = \frac{1}{c}$ である。

次に、それぞれの関数を微分して接線の傾きを求める。

$y = cx^{\frac{3}{2}}$ について、$y' = \frac{3}{2}cx^{\frac{1}{2}}$ であり、$x = \frac{1}{c}$ における接線の傾き $m_1$ は

$$ m_1 = \frac{3}{2}c \left(\frac{1}{c}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{c} $$

$y = x^{\frac{1}{2}}$ について、$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ であり、$x = \frac{1}{c}$ における接線の傾き $m_2$ は

$$ m_2 = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{c}}} = \frac{1}{2}\sqrt{c} $$

それぞれの接線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\alpha, \beta$ とすると、$\tan \alpha = m_1, \tan \beta = m_2$ である。

$c > 0$ より $m_1 > m_2 > 0$ であるから、$0 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}$ としてよい。 このとき、2接線のなす角 $\theta$ は $\theta = \alpha - \beta$ と表される。

$$ \begin{aligned} \tan \theta &= \tan(\alpha - \beta) \\ &= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \\ &= \frac{\frac{3}{2}\sqrt{c} - \frac{1}{2}\sqrt{c}}{1 + \left(\frac{3}{2}\sqrt{c}\right) \left(\frac{1}{2}\sqrt{c}\right)} \\ &= \frac{\sqrt{c}}{1 + \frac{3}{4}c} \\ &= \frac{4\sqrt{c}}{4 + 3c} \end{aligned} $$

ここで、$t = \sqrt{c}$ とおくと、$c > 0$ より $t > 0$ であり、

$$ \tan \theta = \frac{4t}{4 + 3t^2} $$

$t > 0$ であるから、分母分子を $t$ で割ると

$$ \tan \theta = \frac{4}{\frac{4}{t} + 3t} $$

分母について、相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、$\frac{4}{t} > 0, 3t > 0$ より

$$ \frac{4}{t} + 3t \geqq 2\sqrt{\frac{4}{t} \cdot 3t} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} $$

等号が成立するのは $\frac{4}{t} = 3t$ すなわち $3t^2 = 4$ より $t = \frac{2}{\sqrt{3}}$ のときであり、これは $t > 0$ を満たす。 （このとき $c = t^2 = \frac{4}{3} > 0$ であり条件に適する）

したがって、分母 $\frac{4}{t} + 3t$ の最小値は $4\sqrt{3}$ であり、$\tan \theta$ の最大値は

$$ \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

また、$t \to +0$ および $t \to \infty$ のとき、分母 $\frac{4}{t} + 3t \to \infty$ となるから、$\tan \theta \to +0$ である。

$\tan \theta > 0$ は常に成り立つので、$\tan \theta$ のとり得る値の範囲は

$$ 0 < \tan \theta \leqq \frac{1}{\sqrt{3}} $$

与えられた条件 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を求めると、

$$ 0 < \theta \leqq \frac{\pi}{6} $$

解説

2つの曲線の交点における接線のなす角を求める典型的な問題である。加法定理 $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ を用いて $\tan \theta$ を立式する流れは確実におさえたい。

$\tan \theta$ を $c$ で表した後の最大値（または値域）の求め方としては、本解法のように相加平均・相乗平均の大小関係を利用して分母の最小値を求める手法が最も簡潔である。もちろん、$f(c) = \frac{4\sqrt{c}}{4+3c}$ や $g(t) = \frac{4t}{4+3t^2}$ とおいて微分して増減を調べる方法でも問題なく解くことができる。

答え

$$ 0 < \theta \leqq \frac{\pi}{6} $$