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名古屋大学 1993年理系第1問解説

方針・初手

空間図形において「3直線に直交する」とは、求める直線が3直線のそれぞれと交点をもち、かつ垂直に交わることを意味する。まず、直線 (i) と (ii) の両方に垂直に交わる直線 $L$ を求める。これは、(i) 上の点 $P$ と (ii) 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $PQ$ が (i), (ii) のそれぞれと直交するような $P, Q$ を探すことで得られる。得られた直線 $L$ が直線 (iii) とも垂直に交わるための条件を立式し、$a, b$ の値を決定する。

解法1

直線 (i), (ii), (iii) の方向ベクトルをそれぞれ $\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}$ とすると、

$$ \vec{d_1} = (1, 1, -1) $$

$$ \vec{d_2} = (3, -3, 1) $$

$$ \vec{d_3} = (a, 1, 1) $$

である。

求める直線を $L$ とし、$L$ は直線 (i) 上の点 $P$、直線 (ii) 上の点 $Q$ を通るとする。実数 $s, t$ を用いて、$P, Q$ の座標は次のように表せる。

$$ P(s+1, s+2, -s+3) $$

$$ Q(3t-1, -3t-2, t-3) $$

ベクトル $\vec{PQ}$ は直線 $L$ の方向ベクトルである。$L$ は直線 (i), (ii) に直交するため、$\vec{PQ}$ は $\vec{d_1}, \vec{d_2}$ の両方に垂直である。

$$ \vec{PQ} = (3t-s-2, -3t-s-4, t+s-6) $$

$\vec{PQ} \perp \vec{d_1}$ より $\vec{PQ} \cdot \vec{d_1} = 0$ であるから、

$$ 1 \cdot (3t-s-2) + 1 \cdot (-3t-s-4) - 1 \cdot (t+s-6) = 0 $$

これを整理すると、

$$ -3s - t = 0 \quad \cdots \text{①} $$

また、$\vec{PQ} \perp \vec{d_2}$ より $\vec{PQ} \cdot \vec{d_2} = 0$ であるから、

$$ 3(3t-s-2) - 3(-3t-s-4) + 1(t+s-6) = 0 $$

これを整理すると、

$$ s + 19t = 0 \quad \cdots \text{②} $$

①、②を連立して解くと、$s = 0, t = 0$ となる。このとき、点 $P, Q$ の座標は $P(1, 2, 3), Q(-1, -2, -3)$ であり、$\vec{PQ}$ は以下のようになる。

$$ \vec{PQ} = (-2, -4, -6) = -2(1, 2, 3) $$

したがって、直線 $L$ は点 $(1, 2, 3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d} = (1, 2, 3)$ をもつ直線である。 $L$ 上の任意の点 $R$ の座標は、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$ R(k+1, 2k+2, 3k+3) $$

次に、直線 $L$ が直線 (iii) と直交する条件を考える。第一に、方向ベクトル同士が垂直になるので、$\vec{d} \cdot \vec{d_3} = 0$ が成り立つ。

$$ 1 \cdot a + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 0 $$

$$ a + 5 = 0 $$

よって、$a = -5$ となる。

第二に、直線 $L$ と直線 (iii) が交点をもつ。 $a = -5$ のとき、直線 (iii) の方程式は

$$ \frac{x-2}{-5} = y-4 = z-b $$

である。直線 $L$ 上の点 $R$ が直線 (iii) 上にあるような実数 $k$ が存在しなければならないため、点 $R$ の座標を代入して

$$ \frac{(k+1)-2}{-5} = (2k+2)-4 = (3k+3)-b $$

$$ \frac{k-1}{-5} = 2k-2 = 3k+3-b $$

最初の等式 $\frac{k-1}{-5} = 2k-2$ を解く。

$$ k - 1 = -10k + 10 $$

$$ 11k = 11 $$

$$ k = 1 $$

この $k = 1$ を二番目の等式 $2k-2 = 3k+3-b$ に代入する。

$$ 2(1) - 2 = 3(1) + 3 - b $$

$$ 0 = 6 - b $$

$$ b = 6 $$

以上より、$a = -5, b = 6$ である。

解説

空間図形において、2つの直線が「直交する」と表現される場合、「垂直に交わる」ことを意味するのが一般的である。方向ベクトルが垂直であるだけでは「ねじれの位置」にある場合を排除できないため、必ず交点を持つ条件（連立方程式が解を持つ条件）を確認する必要がある。本問では、まず係数を含まない2直線 (i), (ii) の共通垂線を求め、その求めた直線が (iii) とも直交するように未定係数 $a, b$ を決定するという手順を踏むと見通しがよい。計算量自体は標準的であるが、空間における直線の方程式の媒介変数表示と内積計算を正確に行う処理能力が問われている。