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名古屋大学 2001年理系第1問解説

方針・初手

与えられた不等式を変形すると、$\frac{\log(\log q) - \log(\log p)}{q - p} < \frac{1}{e}$ となります。左辺は関数 $f(x) = \log(\log x)$ の区間 $[p, q]$ における平均変化率の形をしているため、平均値の定理の利用が有効です。また、両辺の差をとった関数を設定して微分し、単調性を調べる方法や、定積分の不等式を利用する方法も考えられます。

解法1

関数 $f(x) = \log(\log x)$ を考えます。真数条件より $\log x > 0$ すなわち $x > 1$ であり、$x \geqq e$ において $f(x)$ は定義されます。

$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = \frac{1}{\log x} \cdot (\log x)' = \frac{1}{x \log x} $$

となります。 $e \leqq p < q$ であるから、$f(x)$ は閉区間 $[p, q]$ で連続、開区間 $(p, q)$ で微分可能です。したがって、平均値の定理により、

$$ \frac{\log(\log q) - \log(\log p)}{q - p} = \frac{1}{c \log c} $$

を満たす実数 $c$ が $p < c < q$ の範囲に存在します。

ここで、$c > p \geqq e$ より $c > e$ であり、底が $e > 1$ より $\log c > \log e = 1$ が成り立ちます。よって、各辺が正であるから、

$$ c \log c > e \cdot 1 = e $$

となります。この両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{c \log c} < \frac{1}{e} $$

が得られます。

平均値の定理の式とこの不等式より、

$$ \frac{\log(\log q) - \log(\log p)}{q - p} < \frac{1}{e} $$

となります。 $q - p > 0$ であるため、両辺に $q - p$ を掛けて、

$$ \log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q - p}{e} $$

が成り立つことが証明されました。

解法2

定数 $p \geqq e$ を固定し、変数 $x \geqq p$ に対する関数 $F(x)$ を次のように定めます。

$$ F(x) = \frac{x - p}{e} - \left\{ \log(\log q) \text{ではなく} \log(\log x) - \log(\log p) \right\} $$

正しくは以下の通りです。

$$ F(x) = \frac{x - p}{e} - \left\{ \log(\log x) - \log(\log p) \right\} $$

$x > p$ において $F(x) > 0$ となることを示します。 $F(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ F'(x) = \frac{1}{e} - \frac{1}{x \log x} $$

となります。 $x > p \geqq e$ より $x > e$ であり、$\log x > 1$ です。したがって、$x \log x > e \cdot 1 = e$ となるため、両辺の逆数をとると

$$ \frac{1}{x \log x} < \frac{1}{e} $$

が成り立ちます。ゆえに、$x > p$ において

$$ F'(x) = \frac{1}{e} - \frac{1}{x \log x} > 0 $$

となります。これより、関数 $F(x)$ は $x \geqq p$ において単調に増加します。

$F(p) = 0$ であるから、$x > p$ のとき $F(x) > 0$ が成り立ちます。ここで $x = q$ （$q > p$）を代入すると、$F(q) > 0$ となり、

$$ \frac{q - p}{e} - \left\{ \log(\log q) - \log(\log p) \right\} > 0 $$

すなわち

$$ \log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q - p}{e} $$

が成り立つことが証明されました。

解法3

関数 $f(x) = \log(\log x)$ の導関数は $f'(x) = \frac{1}{x \log x}$ であり、微積分学の基本定理より

$$ \log(\log q) - \log(\log p) = \int_{p}^{q} \frac{1}{x \log x} dx $$

と表すことができます。

積分区間 $p \leqq x \leqq q$ において、被積分関数を評価します。 $p < x \leqq q$ の範囲において $x > e$ かつ $\log x > 1$ であるから、

$$ x \log x > e \cdot 1 = e $$

が成り立ちます。両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{x \log x} < \frac{1}{e} $$

となります。

$p < q$ であるから、区間 $[p, q]$ においてこの不等式の両辺を定積分すると、

$$ \int_{p}^{q} \frac{1}{x \log x} dx < \int_{p}^{q} \frac{1}{e} dx $$

となります。右辺を計算すると、

$$ \int_{p}^{q} \frac{1}{e} dx = \left[ \frac{x}{e} \right]_{p}^{q} = \frac{q - p}{e} $$

となります。

したがって、

$$ \log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q - p}{e} $$

が成り立つことが証明されました。

解説

不等式の証明問題における標準的な解法を問う問題です。 $f(b) - f(a)$ の形を見たときに、それを「平均変化率」と捉えて平均値の定理を利用する発想（解法1）や、「定積分」と捉えて被積分関数の大小関係を利用する発想（解法3）は、理系数学において頻出のアプローチです。また、差の関数を作って微分し増減を調べる方法（解法2）は、どのような不等式に対しても適用しやすい汎用性の高い手法です。いずれの解法においても、「$x > e$ のとき $x \log x > e$」という評価を正しく行えるかがポイントになります。