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名古屋大学 1978年文系第6問解説

方針・初手

直線 $y=px+q$ は曲線 $y=\sin x$ の接線であるため、まずは接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の方程式を求め、$p$ と $q$ を $t$ を用いて表します。次に、定積分 $I$ を $t$ の関数 $I(t)$ として表し、微分法を用いて増減を調べることで最小値を求めます。

解法1

曲線 $y = \sin x$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とおく。直線 $y=px+q$ は $x=a$ と $x=b$ の間で接するため、接点 $t$ のとりうる範囲は $a < t < b$ である。

$y = \sin x$ を微分すると $y' = \cos x$ となるから、点 $(t, \sin t)$ における接線の方程式は、

$$ y - \sin t = \cos t \cdot (x - t) $$

$$ y = (\cos t)x + \sin t - t \cos t $$

これが直線 $y = px + q$ と一致するので、係数を比較して、

$$ \begin{cases} p = \cos t \\ q = \sin t - t \cos t \end{cases} $$

を得る。このとき、定積分 $I$ は $t$ の関数 $I(t)$ となり、次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} I(t) &= \int_{a}^{b} (px + q - \sin x) dx \\ &= \int_{a}^{b} \{ (\cos t)x + \sin t - t \cos t - \sin x \} dx \\ &= \left[ \frac{\cos t}{2} x^2 + (\sin t - t \cos t)x + \cos x \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{\cos t}{2} (b^2 - a^2) + (\sin t - t \cos t)(b - a) + \cos b - \cos a \end{aligned} $$

この $I(t)$ を $t$ で微分して増減を調べる。

$$ \begin{aligned} I'(t) &= -\frac{\sin t}{2} (b^2 - a^2) + (\cos t - \cos t + t \sin t)(b - a) \\ &= -\frac{b^2 - a^2}{2} \sin t + t(b - a) \sin t \\ &= (b - a) \sin t \left( t - \frac{a+b}{2} \right) \end{aligned} $$

ここで、$0 < a < t < b < \pi$ であるから $\sin t > 0$ であり、$b - a > 0$ である。したがって、$I'(t)$ の符号は $t - \frac{a+b}{2}$ の符号と一致する。

$a < t < b$ における $I(t)$ の増減は以下のようになる。

$a < t < \frac{a+b}{2}$ のとき、$I'(t) < 0$ より $I(t)$ は単調減少
$t = \frac{a+b}{2}$ のとき、$I'(t) = 0$
$\frac{a+b}{2} < t < b$ のとき、$I'(t) > 0$ より $I(t)$ は単調増加

よって、$I(t)$ は $t = \frac{a+b}{2}$ のとき極小かつ最小となる。

このときの $p$ および $q$ は、

$$ p = \cos \frac{a+b}{2} $$

$$ q = \sin \frac{a+b}{2} - \frac{a+b}{2} \cos \frac{a+b}{2} $$

であり、求める最小値 $I$ は、

$$ \begin{aligned} I\left(\frac{a+b}{2}\right) &= \frac{1}{2} (b-a)(b+a) \cos \frac{a+b}{2} + (b-a) \left( \sin \frac{a+b}{2} - \frac{a+b}{2} \cos \frac{a+b}{2} \right) + \cos b - \cos a \\ &= (b-a) \left\{ \frac{a+b}{2} \cos \frac{a+b}{2} + \sin \frac{a+b}{2} - \frac{a+b}{2} \cos \frac{a+b}{2} \right\} + \cos b - \cos a \\ &= (b-a) \sin \frac{a+b}{2} + \cos b - \cos a \end{aligned} $$

となる。

解説

接線を文字でおいて面積や積分の最小値を求める典型問題です。接点の $x$ 座標を $t$ とおくことで、$I$ を1変数の関数 $I(t)$ に帰着させることができます。面積積分を先に計算してから $t$ で微分すると、$(b^2-a^2) = (b-a)(b+a)$ の因数分解によって式が綺麗に整理され、極値をとる $t$ が区間の中点にくることが明確に分かります。

なお、解答の最小値 $I$ は、和と積の公式 $\cos b - \cos a = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{b-a}{2}$ を用いて $I = \left( b - a - 2 \sin \frac{b-a}{2} \right) \sin \frac{a+b}{2}$ とまとめることも可能です。