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名古屋大学 2014年理系第3問解説

方針・初手

(1)は、$x$軸に接する2円が互いに外接するときの中心の座標と半径の関係式を立てる。3つの円の位置関係から$x$座標の大小関係を明らかにし、距離の等式を導く。
(2)は、(1)で得られた関係式において $a_n = \frac{1}{\sqrt{r_n}}$ とおき、隣接3項間漸化式（フィボナッチ数列と同型）の一般項を特性方程式を用いて求める。
(3)は、(2)で求めた一般項を用いて $r_n$ を表し、指数関数の極限における底の大きさに着目して収束条件を定める。

解法1

(1) 円 $C_n$ の中心の $x$ 座標を $x_n$ とする。$C_n$ は $x$ 軸に接し、半径が $r_n$ であるから、中心の座標は $(x_n, r_n)$ である。 2円 $C_n$ と $C_{n+1}$ は互いに外接するので、中心間の距離の2乗を考えると、

$$ (x_n - x_{n+1})^2 + (r_n - r_{n+1})^2 = (r_n + r_{n+1})^2 $$

これを展開して整理すると、

$$ (x_n - x_{n+1})^2 = 4r_n r_{n+1} $$

よって、

$$ |x_n - x_{n+1}| = 2\sqrt{r_n r_{n+1}} $$

が成り立つ。同様に、$C_{n+2}$ は $C_n$ にも $C_{n+1}$ にも互いに外接するので、

$$ |x_n - x_{n+2}| = 2\sqrt{r_n r_{n+2}} $$

$$ |x_{n+1} - x_{n+2}| = 2\sqrt{r_{n+1} r_{n+2}} $$

が成り立つ。ここで、$C_{n+2}$ は $C_n$ と $C_{n+1}$ の弧および $x$ 軸で囲まれる部分にあることから、$x_{n+2}$ は $x_n$ と $x_{n+1}$ の間にある。すなわち、

$$ |x_n - x_{n+1}| = |x_n - x_{n+2}| + |x_{n+2} - x_{n+1}| $$

が成り立つ。これに前述の式を代入して、

$$ 2\sqrt{r_n r_{n+1}} = 2\sqrt{r_n r_{n+2}} + 2\sqrt{r_{n+1} r_{n+2}} $$

両辺を $2\sqrt{r_n r_{n+1} r_{n+2}}$ で割ると、

$$ \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}} = \frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}} + \frac{1}{\sqrt{r_n}} $$

となり、題意の等式が示された。

(2) $a_n = \frac{1}{\sqrt{r_n}}$ とおくと、(1)の等式より、

$$ a_{n+2} = a_{n+1} + a_n $$

となる。また、$r_1 = 1, r_2 = 1$ であるから $a_1 = 1, a_2 = 1$ である。この隣接3項間漸化式の特性方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の解は、

$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

である。ここで、$\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ とおくと、$a_n$ は定数 $s, t$ を用いて

$$ a_n = s\alpha^n + t\beta^n $$

と表すことができる。$n=1, 2$ を代入すると、

$$ \begin{cases} s\alpha + t\beta = 1 \\ s\alpha^2 + t\beta^2 = 1 \end{cases} $$

$\alpha, \beta$ は $x^2 = x + 1$ を満たすので、第2式は $s(\alpha+1) + t(\beta+1) = 1$ となり、第1式を用いて整理すると、

$$ (s\alpha + t\beta) + s + t = 1 $$

$$ 1 + s + t = 1 $$

よって $t = -s$ を得る。これを第1式に代入すると、

$$ s(\alpha - \beta) = 1 $$

$\alpha - \beta = \sqrt{5}$ であるから、$s = \frac{1}{\sqrt{5}}$ となり、$t = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ が得られる。以上より、条件を満たす定数の一組は以下の通りである。

$$ \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}, s = \frac{1}{\sqrt{5}}, t = -\frac{1}{\sqrt{5}} $$

(3) (2)より、

$$ \frac{1}{\sqrt{r_n}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right\} $$

であるから、

$$ r_n = \frac{5}{\left( \alpha^n - \beta^n \right)^2} $$

となる。したがって、与えられた数列の項は次のように変形できる。

$$ \frac{r_n}{k^n} = \frac{5}{k^n \left( \alpha^n - \beta^n \right)^2} = \frac{5}{k^n \alpha^{2n} \left\{ 1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n \right\}^2} = \frac{5}{(k\alpha^2)^n \left\{ 1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n \right\}^2} $$

ここで、$\left| \frac{\beta}{\alpha} \right| = \left| \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right| < 1$ であるから、$n \to \infty$ のとき $\left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^n \to 0$ となる。ゆえに、$\frac{r_n}{k^n}$ が正の値に収束するための条件は、分母の $(k\alpha^2)^n$ が $1$ に収束すること、すなわち

$$ k\alpha^2 = 1 $$

が成り立つことである。これを解くと、

$$ k = \frac{1}{\alpha^2} = \frac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \frac{4}{6+2\sqrt{5}} = \frac{2}{3+\sqrt{5}} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} $$

となる。このとき、極限値は

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{k^n} = \frac{5}{1 \cdot (1 - 0)^2} = 5 $$

である。

解説

(1)は「$x$軸に接する2円が外接する」という図形的な条件を、中心の座標と半径を用いた数式へと翻訳する典型的な処理である。
(2)は、$a_n = \frac{1}{\sqrt{r_n}}$ とおくことで隣接3項間漸化式に帰着される。フィボナッチ数列と全く同じ漸化式と初期条件を持つため、特性方程式から一般項を求める流れに落とし込むことができる。
(3)は、指数関数を含む数列の極限を求める問題である。絶対値が最大となる底 $\alpha$ で分母分子をくくり出し、公比が $1$ 未満の等比数列の極限を利用して収束条件を決定する、極限計算のセオリー通りの処理が求められる。