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名古屋大学 1966年理系第5問解説

方針・初手

$f_n(x)$ が1次式であるという条件が与えられているため、$f_n(x) = a_n x + b_n$ とおいて与式に代入する方針をとる。これにより、定積分を含む式が $x$ についての恒等式として扱えるようになり、両辺の係数を比較することで、係数 $a_n$ と $b_n$ についての漸化式を導くことができる。得られた漸化式を解いて $f_n(x)$ の一般項を求め、その結果を用いて極限を計算する。

解法1

(1)

$f_n(x)$ は1次式であるから、$n$ に依存する定数 $a_n, b_n$ を用いて次のように表すことができる。

$$ f_n(x) = a_n x + b_n \quad (n = 1, 2, 3, \cdots) $$

$f_1(x) = 1 + x = x + 1$ より、初項は以下のようになる。

$$ a_1 = 1, \quad b_1 = 1 $$

与えられた等式の右辺にある積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^x t f_n(t) dt &= \int_0^x t (a_n t + b_n) dt \\ &= \int_0^x (a_n t^2 + b_n t) dt \\ &= \left[ \frac{a_n}{3} t^3 + \frac{b_n}{2} t^2 \right]_0^x \\ &= \frac{a_n}{3} x^3 + \frac{b_n}{2} x^2 \end{aligned} $$

これを与えられた等式に代入すると、次のようになる。

$$ \begin{aligned} x^2 (a_{n+1} x + b_{n+1}) &= x^2 + x^3 + \frac{a_n}{3} x^3 + \frac{b_n}{2} x^2 \\ a_{n+1} x^3 + b_{n+1} x^2 &= \left( \frac{1}{3} a_n + 1 \right) x^3 + \left( \frac{1}{2} b_n + 1 \right) x^2 \end{aligned} $$

この等式は $x$ についての恒等式であるから、両辺の係数を比較して、次の2つの漸化式を得る。

$$ a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 1 $$

$$ b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + 1 $$

数列 $\{a_n\}$ の漸化式を変形すると、以下のようになる。

$$ a_{n+1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \left( a_n - \frac{3}{2} \right) $$

数列 $\left\{ a_n - \frac{3}{2} \right\}$ は、初項 $a_1 - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、その一般項は、

$$ a_n - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} $$

$$ a_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} $$

数列 $\{b_n\}$ の漸化式を変形すると、以下のようになる。

$$ b_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (b_n - 2) $$

数列 $\{b_n - 2\}$ は、初項 $b_1 - 2 = 1 - 2 = -1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、その一般項は、

$$ b_n - 2 = -1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

$$ b_n = 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

以上より、求める $f_n(x)$ は次のようになる。

$$ f_n(x) = \left\{ \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right\} x + 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

(2)

(1) の結果より、$f_n(1)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f_n(1) &= a_n \cdot 1 + b_n \\ &= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} + 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\ &= \frac{7}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \end{aligned} $$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \to 0$ かつ $\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \to 0$ であるから、極限は以下のようになる。

$$ \lim_{n \to \infty} f_n(1) = \frac{7}{2} - 0 - 0 = \frac{7}{2} $$

解説

関数の列についての漸化式を含む問題である。$f_n(x)$ が「1次式である」という強力な条件が与えられているため、具体的に $a_n x + b_n$ と設定することで、関数の問題を数列の漸化式の問題に帰着させることができる。多項式の恒等式として係数比較を行う手法は頻出であり、隣接2項間漸化式の処理も含めて標準的な構成となっている。計算ミスに気をつけて確実に得点したい問題である。