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名古屋大学 2014年理系第2問解説

方針・初手

線分 $PQ$ を表す方程式を立式し、点 $(x, y)$ がその線分上にあるための条件をパラメータ $t$ の存在条件として捉える「順像法（ファクシミリの原理）」を用いて領域を求めます。具体的には、$x$ を固定したとき、線分が存在するための $t$ の定義域を求め、その範囲における $y$ の最大値と最小値を調べます。定義域が $x$ の値によって変化することに注意して場合分けを行います。

解法1

$P(t, t^2)$, $Q(t+1, (t+1)^2)$ を結ぶ直線の傾きは

$$ \frac{(t+1)^2 - t^2}{(t+1) - t} = 2t + 1 $$

であるから、直線 $PQ$ の方程式は

$$ y - t^2 = (2t + 1)(x - t) $$

$$ y = (2t + 1)x - t^2 - t $$

となる。線分 $PQ$ はこの直線上で $x$ 座標が $t \leqq x \leqq t+1$ の部分である。

いま、実数 $x$ を固定して考える。点 $(x, y)$ が線分 $PQ$ が通過する領域に含まれるための条件は、式

$$ y = -t^2 + (2x - 1)t + x $$

を満たす実数 $t$ が、問題の条件である $-1 \leqq t \leqq 0$ かつ $t \leqq x \leqq t+1$ の範囲に少なくとも1つ存在することである。

$t$ についての条件 $t \leqq x \leqq t+1$ は $x - 1 \leqq t \leqq x$ と変形できる。$-1 \leqq t \leqq 0$ とあわせると、$t$ の存在範囲は

$$ \max(-1, x - 1) \leqq t \leqq \min(0, x) $$

となる。この範囲が存在する（空集合でない）ための条件は $x - 1 \leqq 0$ かつ $-1 \leqq x$、すなわち $-1 \leqq x \leqq 1$ である。

以下、$-1 \leqq x \leqq 1$ において、$t$ の関数

$$ f(t) = -t^2 + (2x - 1)t + x $$

の最大値と最小値を考える。平方完成すると

$$ f(t) = -\left(t - x + \frac{1}{2}\right)^2 + x^2 + \frac{1}{4} $$

となり、この放物線は上に凸で、軸は $t = x - \frac{1}{2}$ である。 $x$ の値の範囲によって、$t$ の定義域は次のように変わる。

(i) $-1 \leqq x \leqq 0$ のとき

$t$ の定義域は $-1 \leqq t \leqq x$ となる。軸 $t = x - \frac{1}{2}$ は常に上端 $x$ より左にあることに注意して、軸の位置でさらに場合分けする。

(ア) $-1 \leqq x < -\frac{1}{2}$ のとき

軸は区間の左外にある。 $f(t)$ は $-1 \leqq t \leqq x$ において単調減少するため、最大値は $y = f(-1) = -1 - (2x - 1) + x = -x$ 最小値は $y = f(x) = -x^2 + (2x - 1)x + x = x^2$

(イ) $-\frac{1}{2} \leqq x \leqq 0$ のとき

軸は区間内に含まれる。最大値は頂点でとり、$y = f\left(x - \frac{1}{2}\right) = x^2 + \frac{1}{4}$ 最小値は端点 $t = -1$ と $t = x$ のうち、軸から遠い方でとる。軸と区間の中点の差を調べると、$\left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{-1 + x}{2} = \frac{x}{2} \leqq 0$ より軸は中点以下であるから、右端 $t = x$ の方が遠い。よって、最小値は $y = f(x) = x^2$

(ii) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき

$t$ の定義域は $x - 1 \leqq t \leqq 0$ となる。軸 $t = x - \frac{1}{2}$ は常に下端 $x - 1$ より右にあることに注意して、軸の位置で場合分けする。

(ウ) $0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき

軸は区間内に含まれる。最大値は頂点でとり、$y = f\left(x - \frac{1}{2}\right) = x^2 + \frac{1}{4}$ 最小値は端点 $t = x - 1$ と $t = 0$ のうち、軸から遠い方でとる。軸と区間の中点の差を調べると、$\left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{x - 1 + 0}{2} = \frac{x}{2} \geqq 0$ より軸は中点以上であるから、左端 $t = x - 1$ の方が遠い。よって、最小値は $y = f(x - 1) = -(x - 1)^2 + (2x - 1)(x - 1) + x = x^2$

(エ) $\frac{1}{2} < x \leqq 1$ のとき

軸は区間の右外にある。 $f(t)$ は $x - 1 \leqq t \leqq 0$ において単調増加するため、最大値は $y = f(0) = x$ 最小値は $y = f(x - 1) = x^2$

以上より、求める領域は、$-1 \leqq x \leqq 1$ において

$$ x^2 \leqq y \leqq \begin{cases} -x & \left(-1 \leqq x < -\frac{1}{2}\right) \\ x^2 + \frac{1}{4} & \left(-\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2}\right) \\ x & \left(\frac{1}{2} < x \leqq 1\right) \end{cases} $$

となる。図示については、放物線 $y = x^2$ と $y = x^2 + \frac{1}{4}$ は $y$ 軸対称であり、直線 $y = -x$ と放物線 $y = x^2 + \frac{1}{4}$ は $x = -\frac{1}{2}$ で接し、直線 $y = x$ と放物線 $y = x^2 + \frac{1}{4}$ は $x = \frac{1}{2}$ で接することに注意して描く。

次に、この領域の面積 $S$ を求める。領域は $y$ 軸に関して対称であるから、$x \geqq 0$ の部分の面積を2倍すればよい。

$$ \begin{aligned} S &= 2 \left( \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left\{ \left(x^2 + \frac{1}{4}\right) - x^2 \right\} dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (x - x^2) dx \right) \\ &= 2 \left( \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (x - x^2) dx \right) \\ &= 2 \left( \left[ \frac{1}{4}x \right]_{0}^{\frac{1}{2}} + \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{\frac{1}{2}}^{1} \right) \\ &= 2 \left( \frac{1}{8} + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right) \right) \\ &= 2 \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} \right) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \\ &= \frac{3 + 4 - 2}{12} \\ &= \frac{5}{12} \end{aligned} $$

解説

線分の通過領域を求める典型問題です。文字が複数（ここでは $x, y, t$）登場するため、どの文字を固定して考えるかが鍵となります。本問のように「$t$ が動くときの $(x, y)$ の軌跡」を考える場合、$x$ を固定して $y$ のとり得る範囲を調べる順像法（ファクシミリの原理）が非常に有効です。その際、線分の端点の制約（$x$ 座標が $t \leqq x \leqq t+1$）が、$t$ の定義域を決定する重要な条件にすり替わる構造を正確に処理できるかが問われます。計算量はやや多いですが、対称性を活用して面積計算の負担を減らす工夫も重要です。