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名古屋大学 2017年理系第1問解説

方針・初手

(1) 曲線上の点における接線の方程式を求め、その $x$ 切片および $y$ 切片を計算する。 (2) 導関数と第2次導関数を計算し、増減と凹凸を調べる。また、2つの関数の交点を求め、位置関係（上下関係）と極限を確認してグラフの概形を捉える。 (3) (2) で図示したグラフをもとに、回転体の体積を立式する。$t$ 軸まわりの回転であるため、$t$ による積分を考えた後に $s$ への置換積分を行うか、円柱殻法（バウムクーヘン積分）を用いる。

解法1

(1)

曲線 $C: y = a - 1 - \log x$ $(x > 0)$ において、$y' = -\frac{1}{x}$ である。点 $P(s, a - 1 - \log s)$ における接線の方程式は、

$$ y - (a - 1 - \log s) = -\frac{1}{s}(x - s) $$

$$ y = -\frac{1}{s}x + a - \log s $$

この接線が $x$ 軸と交わる点は $y = 0$ として、

$$ 0 = -\frac{1}{s}x + a - \log s $$

$$ x = s(a - \log s) $$

これが $u(s)$ であるから、

$$ u(s) = s(a - \log s) $$

また、$y$ 軸と交わる点は $x = 0$ として、

$$ y = a - \log s $$

これが $v(s)$ であるから、

$$ v(s) = a - \log s $$

(2)

$u(s) = s(a - \log s)$ $(s > 0)$ について微分すると、

$$ u'(s) = 1 \cdot (a - \log s) + s \cdot \left(-\frac{1}{s}\right) = a - 1 - \log s $$

$$ u''(s) = -\frac{1}{s} $$

$u'(s) = 0$ となるのは $\log s = a - 1$、すなわち $s = e^{a-1}$ のときである。 $s > 0$ において常に $u''(s) < 0$ であるため、グラフは常に上に凸である。極限について、与えられた $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ を用いると、

$$ \lim_{s \to +0} u(s) = \lim_{s \to +0} (as - s \log s) = 0 $$

$$ \lim_{s \to \infty} u(s) = -\infty $$

次に、$v(s) = a - \log s$ $(s > 0)$ について微分すると、

$$ v'(s) = -\frac{1}{s} $$

$$ v''(s) = \frac{1}{s^2} $$

$s > 0$ において常に $v'(s) < 0$ かつ $v''(s) > 0$ であるため、グラフは単調に減少し、常に下に凸である。極限について、

$$ \lim_{s \to +0} v(s) = \infty $$

$$ \lim_{s \to \infty} v(s) = -\infty $$

$t = u(s)$ と $t = v(s)$ の交点の $s$ 座標を求めるため、$u(s) = v(s)$ を解く。

$$ s(a - \log s) = a - \log s $$

$$ (s - 1)(a - \log s) = 0 $$

これを解いて $s = 1, e^a$ を得る。 $s = 1$ のとき、$t = a$。 $s = e^a$ のとき、$t = 0$。よって、交点の座標は $(1, a)$ と $(e^a, 0)$ である。

ここで、$0 < a < 1$ という条件から、各 $s$ の値の大小関係を調べる。 $-1 < a - 1 < 0$ より $0 < e^{a-1} < 1$ であり、$a > 0$ より $e^a > 1$ である。したがって、

$$ 0 < e^{a-1} < 1 < e^a $$

が成り立つ。さらに、極大値 $u(e^{a-1}) = e^{a-1}$ と、交点の $t$ 座標 $a$ の大小を比較する。関数 $f(x) = e^{x-1} - x$ を考えると、$f'(x) = e^{x-1} - 1$ である。 $0 < x < 1$ において $x-1 < 0$ より $f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ は単調に減少する。 $f(1) = 0$ であるから、$0 < x < 1$ において $f(x) > 0$、すなわち $e^{x-1} > x$ が成り立つ。 $0 < a < 1$ であるから、$e^{a-1} > a$ となり、極大値は交点より上方に位置する。

以上から、増減および凹凸をまとめた表は以下のようになる。

$s$	$(0)$	$\cdots$	$e^{a-1}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$e^a$	$\cdots$
$u'(s)$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$u''(s)$		$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$u(s)$	$(0)$	$\nearrow$	$e^{a-1}$	$\searrow$	$a$	$\searrow$	$0$	$\searrow$
$v'(s)$		$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$v''(s)$		$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$v(s)$	$(\infty)$	$\searrow$		$\searrow$	$a$	$\searrow$	$0$	$\searrow$

この結果に基づき、$st$ 平面上にグラフを図示すると、以下の特徴を持つ2曲線となる。

$t = u(s)$ は原点 $(0,0)$（白丸）から出発し、上に凸のまま $(e^{a-1}, e^{a-1})$ で極大となり、$(e^a, 0)$ を通って右下へ下がる曲線。
$t = v(s)$ は $t$ 軸を漸近線として下方へ減少し続ける下に凸の曲線であり、$(1, a)$ と $(e^a, 0)$ を通る。
2曲線の交点は $(1, a)$ と $(e^a, 0)$ であり、$1 < s < e^a$ の区間において $u(s) > v(s)$ となる。

(3)

(2) より、2つのグラフで囲まれた図形は $1 \le s \le e^a$ の範囲にあり、この区間において $u(s) \ge v(s) \ge 0$ である。この図形を $t$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V$ とする。区間 $1 \le s \le e^a$ において、$t=u(s)$ および $t=v(s)$ はともに単調減少である。 $t$ の範囲は $0 \le t \le a$ であり、ある $t$ に対する $s$ の値をそれぞれ $s_u(t), s_v(t)$ （$s_v(t) \le s_u(t)$）とすると、体積 $V$ は

$$ V = \pi \int_{0}^{a} \{s_u(t)\}^2 dt - \pi \int_{0}^{a} \{s_v(t)\}^2 dt $$

と表される。ここで、$t$ から $s$ への置換積分を行う。 $t = u(s)$ のとき、$dt = u'(s) ds$ であり、$t$ が $0 \to a$ に変化するとき、$s$ は $e^a \to 1$ に変化する。 $t = v(s)$ のとき、$dt = v'(s) ds$ であり、$t$ が $0 \to a$ に変化するとき、$s$ は $e^a \to 1$ に変化する。したがって、

$$ \begin{aligned} V &= \pi \int_{e^a}^{1} s^2 u'(s) ds - \pi \int_{e^a}^{1} s^2 v'(s) ds \\ &= \pi \int_{e^a}^{1} s^2 \{u'(s) - v'(s)\} ds \\ &= \pi \int_{e^a}^{1} s^2 \left\{ (a - 1 - \log s) - \left(-\frac{1}{s}\right) \right\} ds \\ &= \pi \int_{e^a}^{1} (a s^2 - s^2 - s^2 \log s + s) ds \\ &= \pi \int_{1}^{e^a} \left\{ (1 - a)s^2 - s + s^2 \log s \right\} ds \end{aligned} $$

各項の積分を計算する。

$$ \int_{1}^{e^a} s^2 ds = \left[ \frac{1}{3}s^3 \right]_{1}^{e^a} = \frac{1}{3}(e^{3a} - 1) $$

$$ \int_{1}^{e^a} s ds = \left[ \frac{1}{2}s^2 \right]_{1}^{e^a} = \frac{1}{2}(e^{2a} - 1) $$

部分積分を用いて、

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{e^a} s^2 \log s ds &= \left[ \frac{1}{3}s^3 \log s \right]_{1}^{e^a} - \int_{1}^{e^a} \frac{1}{3}s^2 ds \\ &= \frac{1}{3}e^{3a} \cdot a - \frac{1}{9}(e^{3a} - 1) \\ &= \frac{3a - 1}{9}e^{3a} + \frac{1}{9} \end{aligned} $$

これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left\{ (1 - a)\frac{e^{3a} - 1}{3} - \frac{e^{2a} - 1}{2} + \frac{3a - 1}{9}e^{3a} + \frac{1}{9} \right\} \\ &= \pi \left\{ \left( \frac{1 - a}{3} + \frac{3a - 1}{9} \right) e^{3a} - \frac{1}{2}e^{2a} - \frac{1 - a}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \right\} \\ &= \pi \left\{ \frac{3 - 3a + 3a - 1}{9} e^{3a} - \frac{1}{2}e^{2a} + \frac{-6 + 6a + 9 + 2}{18} \right\} \\ &= \pi \left( \frac{2}{9}e^{3a} - \frac{1}{2}e^{2a} + \frac{6a + 5}{18} \right) \\ &= \frac{\pi}{18} (4e^{3a} - 9e^{2a} + 6a + 5) \end{aligned} $$

解法2

(3) 円柱殻法（バウムクーヘン積分）を用いる別解

囲まれた図形は $1 \le s \le e^a$ の範囲にあり、$u(s) \ge v(s) \ge 0$ である。 $t$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ は、円柱殻法により次のように立式できる。

$$ \begin{aligned} V &= 2\pi \int_{1}^{e^a} s \{u(s) - v(s)\} ds \\ &= 2\pi \int_{1}^{e^a} s \left\{ s(a - \log s) - (a - \log s) \right\} ds \\ &= 2\pi \int_{1}^{e^a} (s^2 - s)(a - \log s) ds \\ &= 2\pi \int_{1}^{e^a} (as^2 - as - s^2 \log s + s \log s) ds \end{aligned} $$

解法1の積分結果および以下の積分を用いる。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{e^a} s \log s ds &= \left[ \frac{1}{2}s^2 \log s \right]_{1}^{e^a} - \int_{1}^{e^a} \frac{1}{2}s ds \\ &= \frac{a}{2}e^{2a} - \frac{1}{4}(e^{2a} - 1) \\ &= \frac{2a - 1}{4}e^{2a} + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

これらを代入する。

$$ \begin{aligned} V &= 2\pi \left\{ a\frac{e^{3a} - 1}{3} - a\frac{e^{2a} - 1}{2} - \left( \frac{3a - 1}{9}e^{3a} + \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{2a - 1}{4}e^{2a} + \frac{1}{4} \right) \right\} \\ &= 2\pi \left\{ \left( \frac{a}{3} - \frac{3a - 1}{9} \right) e^{3a} + \left( -\frac{a}{2} + \frac{2a - 1}{4} \right) e^{2a} - \frac{a}{3} + \frac{a}{2} - \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \right\} \\ &= 2\pi \left\{ \frac{3a - (3a - 1)}{9} e^{3a} + \frac{-2a + (2a - 1)}{4} e^{2a} + \frac{-12a + 18a - 4 + 9}{36} \right\} \\ &= 2\pi \left( \frac{1}{9}e^{3a} - \frac{1}{4}e^{2a} + \frac{6a + 5}{36} \right) \\ &= \frac{\pi}{18} (4e^{3a} - 9e^{2a} + 6a + 5) \end{aligned} $$

解説

(2) のグラフの概形 増減表を書くだけでなく、$t$ 座標の極大値 $e^{a-1}$ と交点 $a$ の大小比較に気づけるかがポイントである。極値が交点よりも上に膨らむ形状になることを確認することで、より精緻な作図が可能になる。
(3) の体積計算 $t$ 軸まわりの回転体であるため、通常の計算では $t$ で積分を立式した後に $s$ への置換積分を行う。このとき、積分区間の上限と下限が逆転することに注意する。また、解法2のように円柱殻法（バウムクーヘン積分）を用いると、置換積分を経由せずに直接 $s$ の積分として立式できるため、計算の見通しが良くなる。