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名古屋大学 1995年理系第3問解説

方針・初手

(1) では、曲線上の点 $P$ の座標を媒介変数（たとえば $t$）を用いて表すことから始める。点 $P$ における法線の方程式を立てて $x$ 軸との交点 $Q$ の座標を求め、さらに線分 $PQ$ の中点 $R$ の座標を媒介変数表示で表す。最後に媒介変数を消去して、軌跡の方程式を導く。

(2) では、(1) で求めた軌跡の方程式、または媒介変数表示を利用して面積を定式化する。指定された $x$ の区間に対応する変数（$y$ または $t$）の区間を求め、置換積分を用いて計算を進めるのがよい。

解法1

(1)

曲線の方程式 $x = \log y \ (y > 0)$ を $y$ について解くと、$y = e^x$ である。曲線上の点 $P$ の座標を $(t, e^t)$ とおく（$t$ は実数）。

$y = e^x$ より $y' = e^x$ であるから、点 $P(t, e^t)$ における接線の傾きは $e^t$ となる。したがって、点 $P$ における法線の傾きは $-e^{-t}$ であり、その方程式は次のように表される。

$$ y - e^t = -e^{-t}(x - t) $$

この法線と $x$ 軸との交点 $Q$ の $x$ 座標は、$y = 0$ を代入して求める。

$$ -e^t = -e^{-t}(x - t) $$

$$ e^{2t} = x - t $$

$$ x = t + e^{2t} $$

よって、点 $Q$ の座標は $(t + e^{2t}, 0)$ である。点 $R$ は線分 $PQ$ の中点であるから、その座標を $(x, y)$ とおくと、

$$ \begin{cases} x = \frac{t + (t + e^{2t})}{2} = t + \frac{1}{2}e^{2t} \\ y = \frac{e^t + 0}{2} = \frac{1}{2}e^t \end{cases} $$

第2式より $e^t = 2y$ であり、$e^t > 0$ より $y > 0$ である。両辺の自然対数をとると、$t = \log(2y)$ となる。これを第1式に代入して媒介変数 $t$ を消去する。

$$ x = \log(2y) + \frac{1}{2}(2y)^2 $$

$$ x = \log 2 + \log y + 2y^2 $$

以上より、点 $R$ の描く軌跡が満たす方程式は、次のように求まる。

$$ x = 2y^2 + \log y + \log 2 \quad (y > 0) $$

(2)

(1) で求めた軌跡の方程式を $x = g(y)$ とおく。

$$ g(y) = 2y^2 + \log y + \log 2 \quad (y > 0) $$

$g'(y) = 4y + \frac{1}{y}$ であり、$y > 0$ において $g'(y) > 0$ であるから、$g(y)$ は単調に増加する。求める図形の面積を $S$ とする。この図形は、曲線 $x = g(y)$、$x$ 軸 ($y = 0$)、および 2 直線 $x = \frac{1}{2}$, $x = 2 + \log 2$ で囲まれた領域である。 $y > 0$ の範囲において $y$ 座標は常に正であるから、面積 $S$ は $x$ についての積分で次のように表される。

$$ S = \int_{\frac{1}{2}}^{2 + \log 2} y \, dx $$

ここで、$x = g(y)$ による置換積分を行う。 $dx = g'(y) \, dy = \left( 4y + \frac{1}{y} \right) \, dy$ である。また、積分区間の対応を調べる。 $x = \frac{1}{2}$ のとき、$2y^2 + \log y + \log 2 = \frac{1}{2}$ となる $y$ を探すと、$y = \frac{1}{2}$ がこれを満たす。$g(y)$ の単調増加性より、解はこれに限られる。 $x = 2 + \log 2$ のとき、$2y^2 + \log y + \log 2 = 2 + \log 2$ となる $y$ を探すと、$y = 1$ がこれを満たす。同様に解はこれに限られる。したがって、$x$ が $\frac{1}{2}$ から $2 + \log 2$ まで変化するとき、$y$ は $\frac{1}{2}$ から $1$ まで変化する。

よって、積分は以下のように計算できる。

$$ S = \int_{\frac{1}{2}}^{1} y \left( 4y + \frac{1}{y} \right) \, dy $$

$$ S = \int_{\frac{1}{2}}^{1} (4y^2 + 1) \, dy $$

$$ S = \left[ \frac{4}{3}y^3 + y \right]_{\frac{1}{2}}^{1} $$

$$ S = \left( \frac{4}{3} \cdot 1^3 + 1 \right) - \left( \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{2} \right) $$

$$ S = \frac{7}{3} - \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \right) $$

$$ S = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} $$

$$ S = \frac{5}{3} $$

解法2

(2)の別解

(1) において求めた点 $R(x, y)$ の媒介変数表示をそのまま用いて面積を計算する。

$$ \begin{cases} x = t + \frac{1}{2}e^{2t} \\ y = \frac{1}{2}e^t \end{cases} $$

求める面積 $S$ は $\int y \, dx$ で表されるため、$x$ を $t$ で置換して積分する。 $dx = (1 + e^{2t}) \, dt$ である。

積分区間の対応を調べる。 $x = \frac{1}{2}$ のとき、$t + \frac{1}{2}e^{2t} = \frac{1}{2}$。$f(t) = t + \frac{1}{2}e^{2t}$ は単調増加関数であり、$t = 0$ が唯一の解である。 $x = 2 + \log 2$ のとき、$t + \frac{1}{2}e^{2t} = 2 + \log 2$。同様に、$t = \log 2$ が唯一の解である。したがって、$x$ が $\frac{1}{2}$ から $2 + \log 2$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\log 2$ まで変化する。

よって、面積 $S$ は次のように計算できる。

$$ S = \int_{0}^{\log 2} \frac{1}{2}e^t (1 + e^{2t}) \, dt $$

$$ S = \int_{0}^{\log 2} \left( \frac{1}{2}e^t + \frac{1}{2}e^{3t} \right) \, dt $$

$$ S = \left[ \frac{1}{2}e^t + \frac{1}{6}e^{3t} \right]_{0}^{\log 2} $$

$$ S = \left( \frac{1}{2}e^{\log 2} + \frac{1}{6}e^{3\log 2} \right) - \left( \frac{1}{2}e^0 + \frac{1}{6}e^0 \right) $$

$$ S = \left( \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 8 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right) $$

$$ S = \left( 1 + \frac{4}{3} \right) - \frac{2}{3} $$

$$ S = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} $$

$$ S = \frac{5}{3} $$

解説

(1) は、接線・法線の方程式を立て、交点や中点の座標を求めるという微積分における軌跡問題の典型的な手順である。与えられた方程式を $y = e^x$ と見直すことで微分が容易になる。

(2) の面積計算では、被積分関数を $\int y \, dx$ と設定したうえで、置換積分を実行するのが基本である。解法1のように軌跡の方程式 $x = g(y)$ を利用して $y$ について積分する方法と、解法2のように媒介変数 $t$ を用いてそのまま積分する方法がある。どちらの解法を選んでも手間に大きな差はないため、自身の計算しやすい方を選択すればよい。積分区間の端点を求める際、単調増加性から解が一つに定まることを確認するプロセスも重要である。