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九州大学 1976年理系第4問解説

方針・初手

まずは関数を微分して接線と法線の方程式を立て、$x$ 軸との交点 $Q_n, R_n$ の座標を求める。各点の位置関係を把握し、面積 $S_n$ を直角三角形の面積と定積分の和として計算する。(2) では、得られた $S_n$ の式を等比数列の項と隣り合う項の差（階差）の形に分け、それぞれの無限級数の和を求める。

解法1

(1)

$f(x) = e^{-x}$ とおくと、$f'(x) = -e^{-x}$ である。点 $P_n(n, e^{-n})$ における接線の方程式は、

$$y - e^{-n} = -e^{-n}(x - n)$$

$y = 0$ とすると $x - n = 1$ より $x = n + 1$ となるため、点 $R_n$ の座標は $(n + 1, 0)$ である。

次に、点 $P_n$ における法線の方程式は、傾きが $e^n$ であるから、

$$y - e^{-n} = e^n(x - n)$$

$y = 0$ とすると $x - n = -e^{-2n}$ より $x = n - e^{-2n}$ となるため、点 $Q_n$ の座標は $(n - e^{-2n}, 0)$ である。

また、点 $P_{n+1}$ の座標は $(n+1, e^{-(n+1)})$ であり、$R_n$ と $x$ 座標が等しい。したがって、線分 $R_n P_{n+1}$ は $x$ 軸に垂直な線分である。

ここで、点 $P_n$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $H_n(n, 0)$ とする。題意の図形は、$x$ 軸上の区間 $[n - e^{-2n}, n]$ における直角三角形 $\triangle P_n Q_n H_n$ と、区間 $[n, n+1]$ において曲線 $y = e^{-x}$ と $x$ 軸、直線 $x=n, x=n+1$ で囲まれた領域を合わせたものになる。

よって、図形の面積 $S_n$ は、

$$\begin{aligned} S_n &= (\triangle P_n Q_n H_n \text{の面積}) + \int_{n}^{n+1} e^{-x} dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot \{ n - (n - e^{-2n}) \} \cdot e^{-n} + \left[ -e^{-x} \right]_{n}^{n+1} \\ &= \frac{1}{2} \cdot e^{-2n} \cdot e^{-n} + \left( -e^{-(n+1)} + e^{-n} \right) \\ &= \frac{1}{2} e^{-3n} + e^{-n} - e^{-(n+1)} \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、求める無限級数は次のように表される。

$$\sum_{n=0}^{\infty} S_n = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} e^{-3n} + e^{-n} - e^{-(n+1)} \right)$$

第1項について、初項 $\frac{1}{2}$、公比 $e^{-3}$ の無限等比級数であり、$0 < e^{-3} < 1$ より収束する。その和は、

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2} (e^{-3})^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 - e^{-3}} = \frac{e^3}{2(e^3 - 1)}$$

第2項および第3項について、部分和を考えると、

$$\sum_{n=0}^{N} \left( e^{-n} - e^{-(n+1)} \right) = (1 - e^{-1}) + (e^{-1} - e^{-2}) + \cdots + (e^{-N} - e^{-(N+1)}) = 1 - e^{-(N+1)}$$

$N \to \infty$ のとき $e^{-(N+1)} \to 0$ であるから、

$$\sum_{n=0}^{\infty} \left( e^{-n} - e^{-(n+1)} \right) = 1$$

以上より、

$$\sum_{n=0}^{\infty} S_n = \frac{e^3}{2(e^3 - 1)} + 1 = \frac{3e^3 - 2}{2(e^3 - 1)}$$

解説

面積を計算する際、線分 $P_n Q_n$ の部分を直線の方程式の積分として計算してもよいが、図形が直角三角形であることに気づけばより簡潔に計算できる。無限級数の計算では、等比数列の和の公式を適用する部分と、隣り合う項が打ち消し合う形（望遠鏡和）の部分に分けて、それぞれ極限を正しく処理することがポイントである。